AP Calculus には二つの種類があります——AB と BC です。そして生徒がまず聞くのは、どちらを取るべきか、ほんとうはどれくらい難しいのか、ということです。よい知らせがあります。どちらの試験も、同じひとにぎりの大きな考えの上に立っています。その考えがかみ合えば、あとは組み立てられた練習です。それぞれの試験の内容、ほんとうに必要な中心の考え、そして 5 を取る準備をして当日に臨むための現実的な計画をお伝えします。
微分積分が調べるのは二つです。何かがどれくらい速く 変わる か（微分）、そして何かがどれくらい たまる か（積分）。AP の問題はほとんどが、このどちらかの考えの変形——あるいは、二つがたがいに逆であるという美しい事実の変形です。
AP Calculus AB と BC のちがい
BC は「むずかしい AB」ではありません。AB に追加の分野を足したもの です。AB 試験の内容はすべて BC 試験にも出ます。だから BC の受験者には AB の下位スコア が付きます。BC は内容が増え、進み方が少し速いだけです。
| 分野 | AB | BC |
|---|---|---|
| 極限と連続 | あり | あり |
| 微分とその応用 | あり | あり |
| 積分と微分積分学の基本定理 | あり | あり |
| 微分方程式（基礎） | あり | あり |
| 部分積分と部分分数分解 | — | あり |
| 媒介変数・極座標・ベクトル関数 | — | あり |
| 数列と級数（テイラー／マクローリン） | — | あり |
どちらを取るべきか。 微分積分に落ち着いて初めて触れたい人、ほかの科目の負担が重い人は AB を。前の課程（プレカルキュラス）の土台がしっかりしていて、大学の微分積分二学期分を一年で終えたい人は BC を選びましょう。選択を決めるのは、たいてい級数です——BC は級数で決まります。
試験の組み立て
AB も BC も同じ形です。二つのセクション、それぞれ得点の半分、電卓を使う部分と使わない部分に分かれます。
| セクション | 形式 | 配点 |
|---|---|---|
| I ——多肢選択 | 45 問（電卓なしの部分＋電卓ありの部分） | 50% |
| II ——記述 | 6 問（電卓ありの部分＋電卓なしの部分） | 50% |
試験時間と問題数はカレッジボードによってときどき改められます。最終の学習計画を立てる前に、必ずカレッジボードの AP Calculus のページで当年度の形式と公式の採点基準を確かめてください。
お子さんに合うのは AB か BC か、迷っていますか。
面談では、考え方がどこでつまずいているのかを正確に突き止めます。売り込みも、契約の義務もありません。
すべての土台になる三つの考え
1. 極限
極限は問います——x がある値にいくらでも近づくとき、関数は何に近づくのか。極限は微分と積分の両方の土台で、試験の早い段階の得点はこれをていねいに求めることから生まれます。
x = 2を代入すると0/0になります——不定形なので、簡単にしなければなりません。(x² − 4) = (x − 2)(x + 2)
(x − 2)因数 が約されます。（和と差の積——小中学校の数の扱いから続く古典的な型です。）lim (x + 2) = 2 + 2 = 4
2. 微分
微分 f'(x) は瞬間の変化の割合——ある点での接線の傾きを測ります。試験では速度、最大最小、関連する変化率、グラフの概形として現れます。
べき乗の微分公式
d/dx [xⁿ] = n · xⁿ⁻¹
AB の微分の働き者
x³ → 3x²,−4x → −4,7 → 0（定数の微分は 0 です）。f'(x) = 3x² − 4
f'(2) = 3(2)² − 4 = 12 − 4 = 8
曲線はx = 2で傾き 8 で上がっています。
3. 積分
積分は微分を逆にたどり、曲線の下にたまった面積を測ります。この科目でもっとも大切な一つの結果が、二つの考えを結びつけます。
微分積分学の基本定理： 微分と積分はたがいに逆の操作です。変化の割合を積分すれば、変化の総量が得られます。だから速度のグラフの面積が、進んだ距離を与えるのです。
2xの原始関数はx²です（d/dx[x²] = 2xなので）。∫₀³ 2x dx = [x²]₀³ = (3²) − (0²)
= 9 − 0 = 9
落としがちな一点： + C 積分で 不定 を書き忘れること。定積分（上端と下端のあるもの）は数になりますが、不定積分はいつも積分定数を連れていなければなりません。現実的な学習計画
AP Calculus は、集中の強さよりも続けることにずっと報います。毎週少しずつやる生徒は、4 月に詰め込む生徒をほとんどいつも上回ります。うまくいく計画はこれです。
- まず前の課程の土台を固めること——代数、関数、三角比。微分積分のまちがいのほとんどは、じつは代数のまちがいです。
- 一単元ずつ身につけること：極限 → 微分 → 応用 → 積分 →（BC は）級数。それぞれが自然にできるようになるまで、先へ進まないこと。
- 過去問から記述問題を毎週一問以上解き、公式の採点基準に照らして自分で採点すること。記述の点は、示した考えの筋から出ます。
- 電卓の腕は別に鍛えること。Part B で電卓に何が許されているかを正確に知り、その操作を練習しておくこと。
- 2 月からは、二週間に一度、時間を計って一セクションを通して解き、持久力と配分を身につけること。
- まちがいの記録をつけること。すべてのまちがいを正しい方法とともに書き留めれば、同じつまずきが二度と点を奪いません。
3 から 5 へ跳ぶ生徒が、微分積分を より多く 学ぶことはまれです——避けられるまちがいで点を漏らすのをやめるのです。それぞれのまちがいが なぜ 起きたのかを毎週見直すことが、この計画全体でもっとも効く習慣です。
求めよ：x → 3 のときの lim (x² − 9)/(x − 3)
ヒント：分子を (x − 3)(x + 3) と因数分解して約します。
微分せよ：f(x) = 5x⁴ − 2x² + 9
ヒント：各項にべき乗の公式を。定数は微分すると 0 です。
x = 1 における f(x) = x² + 3x の傾きを求めよ
ヒント：先に微分し、それから f'(x) に x = 1 を代入します。
0 から 2 までの 3x² の定積分を求めよ
ヒント：3x² の原始関数は x³。0 から 2 までの [x³] を計算します。
BC はあなたに合っていますか。BC だけの分野のうち、もっとも難しいと感じるものとその理由を挙げなさい。
ヒント：多くの生徒は数列と級数を挙げます。自分のものを挙げれば、どこに力を注ぐかが分かります。
5 をめざしますか。
AP Calculus は長距離走で、小さなまちがいの繰り返しが静かにいちばん多くの点を奪います。一対一のメンター なら、考えの筋がどこで滑るのかを正確に示し、毎週のリズムを守らせ、記述の答案をほんものの採点基準で採点できます——試験当日のずっと前に。