द्विघात समीकरण वह समीकरण है जिसमें x की सबसे बड़ी घात 2 हो — जैसे x² − 5x + 6 = 0। इन्हें हल करने के ठीक तीन भरोसेमंद तरीके हैं। तीनों आते हों — और कब कौन-सा लगाना है यह पता हो — तो आप कभी नहीं अटकेंगे।

हर द्विघात समीकरण को इस रूप में लिखा जा सकता है: ax² + bx + c = 0, जहाँ a ≠ 0। तीनों संख्याएँ a, b और c को गुणांक कहते हैं।
xyx₁x₂शीर्ष
द्विघात समीकरण का ग्राफ़ परवलय होता है। मूल वे बिंदु हैं जहाँ यह x-अक्ष को काटता है।

द्विघात समीकरण हल करने का अर्थ है उसके मूल निकालना — x के वे मान जहाँ परवलय x-अक्ष को काटता है। द्विघात समीकरण के दो मूल, एक मूल (दोहरा मूल), या कोई वास्तविक मूल नहीं भी हो सकता।

पता नहीं कौन-सा तरीका पहले आज़माएँ?

एक बातचीत में हम ठीक-ठीक पता लगा लेते हैं कि सोच कहाँ टूटती है — कोई दबाव नहीं, कोई बंधन नहीं।

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तरीका 1 — गुणनखंडन

गुणनखंडन तब सबसे अच्छा चलता है जब समीकरण के मूल पूर्ण संख्याएँ हों। आपax² + bx + c को दो कोष्ठकों के गुणनफल के रूप में लिखते हैं, फिर शून्य-गुणनफल नियम लगाते हैं। गुणा और जोड़ में ठीक बैठने वाली दो संख्याएँ ढूँढ़ना भूल गए हों, तो पहले गुणनखंड और गुणज और अभाज्य गुणनखंडन दोहराइए — गुणनखंडन दरअसल गुणनखंडों का ही खेल है।

शून्य-गुणनफल नियम: यदि A × B = 0 हो, तो या A = 0 या B = 0 (या दोनों)। यही गुणनखंडन की चाबी है।
  1. हमें 6 के दो ऐसे गुणनखंड चाहिए जिनका योग −5 हो: ? × ? = 6 और ? + ? = −5।
    उत्तर: −2 और −3 (क्योंकि −2 × −3 = 6 और −2 + −3 = −5)।

  2. (x − 2)(x − 3) = 0

  3. या x − 2 = 0 या x − 3 = 0

    x = 2    or    x = 3

  4. x = 2: 4 − 10 + 6 = 0 ✓
    x = 3: 9 − 15 + 6 = 0 ✓
  1. 1 और 6: गुणनफल 6, योग 7 ✓

  2. 2x² + x + 6x + 3 = 0

    x(2x + 1) + 3(2x + 1) = 0

    (2x + 1)(x + 3) = 0

  3. 2x + 1 = 0 → x = −½
    x + 3 = 0 → x = −3

तरीका 2 — द्विघात सूत्र

जब गुणनखंडन कठिन या असंभव हो, द्विघात सूत्र हमेशा काम करता है। यह सूत्र याद कर लीजिए — यह किसी भी द्विघात समीकरण को हल कर देता है।

द्विघात सूत्र

x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a

जहाँ ax² + bx + c = 0

  1. a = 2, b = −4, c = −6

  2. b² − 4ac = (−4)² − 4(2)(−6) = 16 + 48 = 64

  3. x = (4 ± √64) / 4 = (4 ± 8) / 4

  4. x = (4 + 8)/4 = 12/4 = 3
    x = (4 − 8)/4 = −4/4 = −1
वर्गमूल के नीचे का मान बताता है कि वास्तविक हल कितने हैं:
  • • b² − 4ac > 0 → दो भिन्न वास्तविक मूल
  • • b² − 4ac = 0 → ठीक एक वास्तविक मूल (दोहरा)
  • • b² − 4ac < 0 → कोई वास्तविक मूल नहीं

तरीका 3 — पूर्ण वर्ग बनाना

पूर्ण वर्ग बनाने में चरण अधिक हैं, पर इससे परवलय का शीर्ष-रूप मिलता है, जो आगे के काम में उपयोगी है। द्विघात सूत्र भी इसी तरह निकाला गया था।

  1. x² + 6x = 7

  2. 6 का आधा 3 है। तीन का वर्ग 9 है।

    x² + 6x + 9 = 7 + 9

    x² + 6x + 9 = 16

  3. (x + 3)² = 16

  4. x + 3 = ±4

    x = −3 + 4 = 1    or    x = −3 − 4 = −7

कौन-सा तरीका अपनाएँ?

स्थितिसबसे अच्छा तरीका
लगता है साफ़-साफ़ गुणनखंडन हो जाएगागुणनखंडन (सबसे तेज़)
गुणांक उलझे हुए या भिन्न होंद्विघात सूत्र (हमेशा चलता है)
ग्राफ़ के लिए शीर्ष-रूप चाहिएपूर्ण वर्ग बनाना
तय न होद्विघात सूत्र (सबसे सुरक्षित विकल्प)
आम गलती: वर्गमूल लेते समय ± का चिह्न भूल जाना। +√ और −√ दोनों सही मूल हैं — दोनों हल हमेशा लिखिए।

  1. गुणनखंडन से हल कीजिए: x² − 7x + 12 = 0

    संकेत: वे दो संख्याएँ खोजिए जिनका गुणनफल 12 और योग −7 हो।

  2. द्विघात सूत्र से हल कीजिए: 3x² − 5x − 2 = 0

    संकेत: a = 3, b = −5, c = −2।

  3. पूर्ण वर्ग बनाकर हल कीजिए: x² + 4x − 5 = 0

    संकेत: दोनों ओर (4/2)² = 4 जोड़िए।

  4. विविक्तकर निकालिए और मूलों की संख्या बताइए: 2x² − 3x + 5 = 0

    संकेत: b² − 4ac = 9 − 40 = ?

  5. हल कीजिए: x² − 9 = 0

    संकेत: यह वर्गों का अंतर है — इसे (x+3)(x−3) = 0 के रूप में गुणनखंडित कीजिए।

प्रतिक्रिया के साथ अभ्यास करना चाहेंगे?

द्विघात समीकरण उन विषयों में है जहाँ छोटी गलतियाँ बड़ी बन जाती हैं — ख़ासकर परीक्षा के दबाव में। मेंटर से बातचीत में हम ठीक-ठीक पता लगा लेते हैं कि कौन-सा चरण आपको गिरा रहा है, और आदत बनने से पहले उसे सुधार देते हैं।