1/2 + 1/3 को जोड़ना उतना आसान नहीं है जितना ऊपर वाले और नीचे वाले जोड़ देना — अगर ऐसा होता, तो उत्तर 2/5 आता, जो शुरुआत से भी छोटा है। असली नियम तब समझ में आता है जब आप सोचें कि भिन्न का अर्थ क्या है। किसी भी भिन्न को जोड़ने और घटाने का तरीक़ा, चरण दर चरण।
कितनी भी बार कोशिश करें, भिन्न अब भी उलझाऊ लगते हैं?
एक बातचीत में हम ठीक-ठीक पता लगा लेते हैं कि सोच कहाँ टूटती है — कोई दबाव नहीं, कोई बंधन नहीं।
भिन्न का असल अर्थ क्या है
भिन्न किसी पूर्ण का एक हिस्सा दिखाती है। हर (नीचे की संख्या) बताता है कि पूर्ण को कितने बराबर टुकड़ों में बाँटा गया है। अंश (ऊपर की संख्या) बताता है कि उनमें से कितने टुकड़े आपके पास हैं।
आप केवल बराबर आकार के टुकड़े जोड़ या घटा सकते हैं। तीन-चौथाई और दो-चौथाई आसान है — दोनों ही “चौथाई” हैं, इसलिए बस गिन लीजिए: पाँच-चौथाई। भिन्न जोड़ने की पूरी चाल यही है कि पहले टुकड़ों का आकार बराबर कर लीजिए।
स्थिति 1: हर समान (आसान स्थिति)
जब हर पहले से मिलते हों, तो टुकड़े बराबर आकार के हैं। बस अंशों को जोड़ (या घटा) दीजिए और हर वही रखिए।
a/c + b/c = (a + b)/c
- दोनों
8हैं — टुकड़े बराबर हैं, इसलिए सीधे जोड़ सकते हैं। 3 + 2 = 5। हर वही रखिए: 5/8।5और8में कोई समान गुणनखंड नहीं है, इसलिए 5/8 अंतिम उत्तर है।
हर को कभी न जोड़िए।3/8 + 2/8है5/8, नहीं5/16। हर टुकड़े के आकार का नाम है — टुकड़े बढ़ जाने से वह नहीं बदलता।
स्थिति 2: हर भिन्न-भिन्न (समान हर खोजिए)
जब हर अलग-अलग हों, तो टुकड़ों के आकार अलग हैं — इसलिए अभी जोड़ नहीं सकते। पहले दोनों भिन्नों को ऐसा लिखिए कि उनका समान हर हो। सबसे सुविधाजनक समान हर है दोनों नीचे की संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य (ल.स.) — यह शब्द नया हो तो हमारी ल.स. और म.स. मार्गदर्शिका देखिए (म.स. यानी महत्तम समापवर्तक)।
- 1. समान हर खोजिए (दोनों हरों का ल.स.)।
- 2. हर भिन्न को उस हर के साथ फिर से लिखिए (ऊपर और नीचे को उसी संख्या से गुणा कीजिए)।
- 3. अंशों को जोड़िए या घटाइए, फिर सरल कीजिए।
- 2 के गुणज: 2, 4, 6… 3 के गुणज: 3, 6… ल.स. है
6। - ऊपर और नीचे को 3 से गुणा कीजिए:
1/2 = 3/6। - ऊपर और नीचे को 2 से गुणा कीजिए:
1/3 = 2/6। 3/6 + 2/6 = 5/6। सरल नहीं हो सकता, इसलिए उत्तर है 5/6।
- 6 के गुणज: 6, 12… 4 के गुणज: 4, 8, 12… ल.स. है
12। 5/6 = 10/12(×2) और1/4 = 3/12(×3)।10/12 − 3/12 = 7/12।7और12में कोई समान गुणनखंड नहीं है, इसलिए 7/12 उत्तर है।
ल.स. निकालने में अटक गए? आप हमेशा दोनों हरों को आपस में गुणा करके उसे समान हर बना सकते हैं।1/2 + 1/3के लिए वह6ही देता है; पर कठिन जोड़ों में बड़ी संख्या आ सकती है, जिसे अंत में सरल करना होगा। यह हमेशा चलता है — बस हमेशा सबसे छोटा नहीं होता। हमारी ल.स. और म.स. मार्गदर्शिका तेज़ तरीक़े बताती है।
मिश्रित संख्याएँ (एक पूर्ण संख्या और एक भिन्न)
2 1/3 जैसी मिश्रित संख्या का अर्थ है “2 पूर्ण और एक तिहाई”। इन्हें जोड़ने या घटाने का सबसे सुरक्षित तरीक़ा है पहले हर एक को विषम भिन्न में बदल लेना, फिर वही नियम लगाना।
2 1/3 = 7/3(2 × 3 + 1 = 7) और1 1/2 = 3/2(1 × 2 + 1 = 3)।- 3 और 2 का ल.स. है
6:7/3 = 14/6और3/2 = 9/6। 14/6 + 9/6 = 23/6।23 ÷ 6 = 3 remainder 5, इसलिए उत्तर है 3 5/6।
झटपट देखिए
| अगर हर… | यह कीजिए |
|---|---|
| समान हों | अंश जोड़िए/घटाइए, हर वही रखिए |
| भिन्न हों | ल.स. खोजिए, दोनों को फिर लिखिए, फिर अंश जोड़िए/घटाइए |
| मिश्रित संख्याएँ हों | पहले विषम भिन्नों में बदलिए, फिर आगे बढ़िए |
- भिन्न पूर्ण के हिस्से हैं: हर के ऊपर अंश।
- आप केवल समान हर वाली भिन्नें जोड़ या घटा सकते हैं।
- समान हर: ऊपर वाले जोड़िए/घटाइए, नीचे वाला वही रखिए।
- भिन्न हर: ल.स. खोजिए और दोनों भिन्नों को फिर लिखिए।
- हरों को आपस में कभी न जोड़िए।
- गणना से पहले मिश्रित संख्याओं को विषम भिन्नों में बदलिए।
- अंतिम उत्तर हमेशा सरल कीजिए।
2/7 + 3/7 हल कीजिए।
संकेत: हर समान है — बस अंश जोड़ दीजिए।
3/4 + 1/6 हल कीजिए।
संकेत: 4 और 6 का ल.स. 12 है। दोनों को 12 पर लिखिए।
7/10 − 2/5 हल कीजिए।
संकेत: 2/5 को हर 10 के साथ लिखिए।
5/8 − 1/3 हल कीजिए।
संकेत: 8 और 3 का ल.स. 24 है।
1 3/4 + 2 1/2 हल कीजिए।
संकेत: पहले दोनों को विषम भिन्नों में बदलिए।
आगे: भिन्नों का गुणा और भाग
जब जोड़ना-घटाना सहज हो जाए, तो गुणा असल में और आसान है — सीधे आड़े गुणा कर दीजिए, समान हर की ज़रूरत नहीं। भाग में “पलटकर गुणा करो” की सुंदर चाल है। अगर भिन्न आपको गिराते ही रहें, तो हमारी गुणनखंड और गुणज मार्गदर्शिका या ल.स. और म.स. मार्गदर्शिका से शुरू कीजिए, फिर एक बातचीत बुक कीजिए और हम साथ मिलकर इन्हें तब तक करेंगे जब तक बात बैठ न जाए।