Une équation du second degré est une équation où la plus haute puissance de x est 2 — comme x² − 5x + 6 = 0. Il existe exactement trois méthodes fiables pour les résoudre. Connaître les trois — et savoir quand employer chacune — fait qu'on ne reste jamais bloqué.
Toute équation du second degré peut s'écrire ax² + bx + c = 0, oùa ≠ 0. Les trois nombresa,betcs'appellent les coefficients.
Résoudre une équation du second degré, c'est trouver ses racines — les valeurs de x pour lesquelles la parabole coupe l'axe des x. Une équation du second degré peut avoir deux racines, une seule (racine double), ou aucune racine réelle.
Vous ne savez pas quelle méthode essayer d'abord ?
Un entretien nous permet de repérer exactement où le raisonnement se casse — sans pression, sans engagement.
Méthode 1 — La factorisation
La factorisation marche mieux quand l'équation a de belles racines entières. On réécritax² + bx + c comme un produit de deux expressions entre parenthèses, puis on applique la règle du produit nul. Si trouver deux nombres dont le produit et la somme conviennent vous semble loin, revoyez d'abord diviseurs et multiples et la décomposition en facteurs premiers — la factorisation est au fond une affaire de diviseurs.
Règle du produit nul : SiA × B = 0, alors soitA = 0, soitB = 0(ou les deux). C'est la clé de la factorisation.
- Il faut deux diviseurs de 6 dont la somme est −5 :
? × ? = 6et? + ? = −5.
Réponse :−2et−3(car −2 × −3 = 6 et −2 + −3 = −5). (x − 2)(x − 3) = 0
- Soit
x − 2 = 0, soitx − 3 = 0x = 2 or x = 3
x = 2:4 − 10 + 6 = 0✓x = 3:9 − 15 + 6 = 0✓
1et6: produit 6, somme 7 ✓2x² + x + 6x + 3 = 0
x(2x + 1) + 3(2x + 1) = 0
(2x + 1)(x + 3) = 0
2x + 1 = 0 → x = −½x + 3 = 0 → x = −3
Méthode 2 — La formule quadratique
Quand la factorisation est difficile ou impossible, la formule quadratique marche toujours. Apprenez-la par cœur — elle résout toute équation du second degré.
La formule quadratique
x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a
où ax² + bx + c = 0
a = 2,b = −4,c = −6b² − 4ac = (−4)² − 4(2)(−6) = 16 + 48 = 64
x = (4 ± √64) / 4 = (4 ± 8) / 4
x = (4 + 8)/4 = 12/4 = 3x = (4 − 8)/4 = −4/4 = −1
La valeur sous la racine carrée indique combien il existe de solutions réelles :
- • b² − 4ac > 0 → deux racines réelles différentes
- • b² − 4ac = 0 → exactement une racine réelle (double)
- • b² − 4ac < 0 → aucune racine réelle
Méthode 3 — Compléter le carré
Compléter le carré demande plus d'étapes mais donne la forme canonique de la parabole, utile dans les travaux plus avancés. C'est aussi ainsi que la formule quadratique a été établie.
x² + 6x = 7
- La moitié de 6 est 3. Trois au carré fait 9.
x² + 6x + 9 = 7 + 9
x² + 6x + 9 = 16
(x + 3)² = 16
x + 3 = ±4
x = −3 + 4 = 1 or x = −3 − 4 = −7
Quelle méthode choisir ?
| Situation | Meilleure méthode |
|---|---|
| Semble se factoriser proprement | Factorisation (la plus rapide) |
| Coefficients compliqués ou fractions | Formule quadratique (marche toujours) |
| Besoin de la forme canonique pour tracer | Compléter le carré |
| Pas sûr | Formule quadratique (le choix le plus sûr) |
Erreur fréquente : Oublier le signe±en prenant la racine carrée.+√et−√sont deux racines valables — écrivez toujours les deux solutions.
Résoudre par factorisation : x² − 7x + 12 = 0
Indice : trouvez deux nombres dont le produit est 12 et la somme −7.
Résoudre avec la formule quadratique : 3x² − 5x − 2 = 0
Indice : a = 3, b = −5, c = −2.
Résoudre en complétant le carré : x² + 4x − 5 = 0
Indice : ajoutez (4/2)² = 4 des deux côtés.
Calculer le discriminant et dire combien il y a de racines : 2x² − 3x + 5 = 0
Indice : b² − 4ac = 9 − 40 = ?
Résoudre : x² − 9 = 0
Indice : c'est une différence de carrés — factorisez en (x+3)(x−3) = 0.
Envie de vous entraîner avec un retour ?
Le second degré est un de ces sujets où les petites erreurs s'accumulent — surtout sous la pression d'un examen. Un échange avec un mentor nous permet de trouver exactement l'étape qui vous fait trébucher et de la corriger avant qu'elle devienne une habitude.