Additionner 1/2 + 1/3 n'est pas aussi simple qu'additionner les numérateurs et les dénominateurs — si c'était le cas, on obtiendrait 2/5, qui est en fait plus petit que le point de départ. La vraie règle devient évidente dès qu'on se représente ce qu'est une fraction. Voici comment additionner et soustraire n'importe quelles fractions, étape par étape.

Les fractions restent confuses, quel que soit le nombre d'essais ?

Un entretien nous permet de repérer exactement où le raisonnement se casse — sans pression, sans engagement.

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Ce qu'une fraction veut vraiment dire

Une fraction montre une partie d'un tout. Le dénominateur (le nombre du bas) dit en combien de parts égales le tout est partagé. Le numérateur (le nombre du haut) dit combien de ces parts tu possèdes.
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Une fraction a deux parties : le numérateur (en haut) compte les parts que tu possèdes, le dénominateur (en bas) dit combien de parts égales font un tout.
Tu ne peux additionner ou soustraire que des parts de même taille. Trois quarts plus deux quarts, c'est facile — ce sont tous des «quarts», alors on les compte : cinq quarts. Tout le secret de l'addition des fractions est de rendre d'abord les parts de même taille.

Cas 1 : même dénominateur (le cas facile)

Quand les dénominateurs se correspondent déjà, les parts sont de même taille. Il suffit d'additionner (ou de soustraire) les numérateurs et de garder le dénominateur.

a/c + b/c = (a + b)/c

  1. Les deux valent 8 — les parts sont de même taille, on peut donc additionner directement.
  2. 3 + 2 = 5. Garder le dénominateur : 5/8.
  3. 5 et 8 n'ont aucun diviseur commun, donc 5/8 est la réponse finale.
N'additionne jamais les dénominateurs. 3/8 + 2/8 vaut 5/8, pas 5/16. Le dénominateur nomme la taille de la part — il ne change pas simplement parce que tu en as davantage.

Cas 2 : dénominateurs différents (trouver un dénominateur commun)

Quand les dénominateurs sont différents, les parts n'ont pas la même taille — tu ne peux donc pas encore les additionner. Réécris d'abord les deux fractions pour qu'elles partagent un dénominateur commun. Le dénominateur commun le plus pratique est le plus petit commun multiple (PPCM) des deux nombres du bas — va voir notre guide du PPCM et du PGCD si ce terme est nouveau (le PGCD est le plus grand commun diviseur).

  • 1. Trouver un dénominateur commun (le PPCM des deux dénominateurs).
  • 2. Réécrire chaque fraction avec ce dénominateur (multiplier le haut et le bas par le même nombre).
  • 3. Additionner ou soustraire les numérateurs, puis simplifier.
  1. Multiples de 2 : 2, 4, 6… Multiples de 3 : 3, 6… Le PPCM est 6.
  2. Multiplier le haut et le bas par 3 : 1/2 = 3/6.
  3. Multiplier le haut et le bas par 2 : 1/3 = 2/6.
  4. 3/6 + 2/6 = 5/6. On ne peut pas simplifier, donc la réponse est 5/6.
  1. Multiples de 6 : 6, 12… Multiples de 4 : 4, 8, 12… Le PPCM est 12.
  2. 5/6 = 10/12 (×2) et 1/4 = 3/12 (×3).
  3. 10/12 − 3/12 = 7/12.
  4. 7 et 12 n'ont aucun diviseur commun, donc 7/12 est la réponse.
Bloqué sur le PPCM ? Tu peux toujours multiplier les deux dénominateurs entre eux et prendre ce produit comme dénominateur commun. Pour 1/2 + 1/3 cela donne 6 de toute façon ; pour des paires plus coriaces, cela peut donner un nombre plus grand que tu simplifieras à la fin. Ça marche toujours — ce n'est simplement pas toujours le plus petit. Notre guide du PPCM et du PGCD présente des méthodes plus rapides.

Les nombres mixtes (un entier plus une fraction)

Un nombre mixte comme 2 1/3 signifie «2 entiers et un tiers». La façon la plus sûre de les additionner ou de les soustraire est de transformer chacun en fraction impropre d'abord, puis de suivre les mêmes règles.

  1. 2 1/3 = 7/3  (2 × 3 + 1 = 7) et 1 1/2 = 3/2  (1 × 2 + 1 = 3).
  2. Le PPCM de 3 et de 2 est 6 : 7/3 = 14/6 et 3/2 = 9/6.
  3. 14/6 + 9/6 = 23/6.
  4. 23 ÷ 6 = 3 remainder 5, donc la réponse est 3 5/6.

Mémo

Si les dénominateurs sont…Fais ceci
les mêmesAdditionne/soustrais les numérateurs, garde le dénominateur
différentsTrouve le PPCM, réécris les deux, puis additionne/soustrais les numérateurs
des nombres mixtesConvertis d'abord en fractions impropres, puis continue
  • Une fraction, ce sont des parts d'un tout : le numérateur sur le dénominateur.
  • Tu ne peux additionner/soustraire que des fractions de même dénominateur.
  • Même dénominateur : additionne/soustrais les hauts, garde le bas.
  • Dénominateurs différents : trouve le PPCM et réécris les deux fractions.
  • N'additionne jamais les dénominateurs entre eux.
  • Convertis les nombres mixtes en fractions impropres avant de calculer.
  • Simplifie toujours la réponse finale.

  1. Calculer 2/7 + 3/7.

    Indice : même dénominateur — additionne simplement les numérateurs.

  2. Calculer 3/4 + 1/6.

    Indice : le PPCM de 4 et 6 est 12. Réécris les deux sur 12.

  3. Calculer 7/10 − 2/5.

    Indice : réécris 2/5 avec le dénominateur 10.

  4. Calculer 5/8 − 1/3.

    Indice : le PPCM de 8 et 3 est 24.

  5. Calculer 1 3/4 + 2 1/2.

    Indice : convertis d'abord les deux en fractions impropres.

Ensuite : multiplier et diviser les fractions

Quand additionner et soustraire devient naturel, multiplier est en fait plus facile — on multiplie tout droit, sans dénominateur commun. Pour diviser, il y a l'astuce élégante «on retourne et on multiplie». Si les fractions continuent de te faire trébucher, commence par notre guide des diviseurs et des multiples ou le guide du PPCM et du PGCD, puis réserve un entretien et nous les travaillerons ensemble jusqu'à ce que ce soit clair.