Cómo derivar paso a paso, en una línea: derivar es la parte de las matemáticas que mide lo rápido que cambia algo. Esta guía te enseña a derivar paso a paso, desde la pendiente hasta la regla de la potencia, las rectas tangentes y los puntos estacionarios, con ejemplos resueltos completos.

Ideas clave

  • Una derivada te da la pendiente de una curva en un punto. También es una tasa de cambio.
  • La regla de la potencia hace casi todo el trabajo: x^n pasa a ser n x^(n-1).
  • Aprende cuatro resultados más: sin x, cos x, e^x y ln x.
  • Iguala dy/dx = 0 para hallar los puntos estacionarios. Usa la segunda derivada para distinguir un máximo de un mínimo.
  • Las derivadas aparecen en A-level, Level 2 Further Maths, AP Calculus, IB AA, JEE Main y CBSE Class 12.

¿Qué son las derivadas, explicado de forma sencilla?

Respuesta rápida: derivar sirve para hallar la pendiente de una curva en cualquier punto. Una recta tiene la misma pendiente en todas partes, pero la pendiente de una curva cambia a medida que avanzas por ella. La derivada, que se escribe dy/dx o f'(x), es una nueva función. Te da esa pendiente, o tasa de cambio, para cada valor de x.

Piensa en un auto. La velocidad es el ritmo al que cambia la distancia, así que la velocidad es la derivada de la distancia respecto al tiempo. Por eso el cálculo está tan ligado a las gráficas de movimiento.

¿Qué significan dy/dx y f'(x)?

Las dos significan "la derivada". Usa dy/dx cuando la curva está escrita como y = ..., y f'(x) cuando está escrita como f(x) = .... La segunda derivada, d2y/dx2 o f''(x), es la tasa de cambio de la pendiente. dy/dx es un solo símbolo, no una fracción que se pueda simplificar.

¿Qué es la pendiente de una curva?

La pendiente de una curva en un punto es la pendiente de la recta tangente en ese punto. Una tangente es una recta que solo toca la curva en ese punto.

Curva y = x^2 con rectas tangentes en x = 1 y x = 2, con pendientes 2 y 4 La tangente a y = x^2 se vuelve más inclinada a medida que crece x.

Para y = x^2, dy/dx = 2x. En x = 1 la pendiente es 2, así que la tangente es y = 2x - 1. En x = 2 la pendiente es 4, así que la tangente es y = 4x - 4.

¿Qué es derivar por la definición (primeros principios)?

La definición es la idea que hay detrás de todas las reglas. Tomas dos puntos de la curva muy próximos, hallas la pendiente de la cuerda que los une y luego haces que la distancia entre ellos tienda a cero.

Para f(x) = x^2, usa los puntos x y x + h:

  1. Pendiente de la cuerda = ((x + h)^2 - x^2) / h
  2. = (2xh + h^2) / h = 2x + h
  3. Cuando h se acerca a 0, esto se acerca a 2x.

Verifícalo en x = 1: con h = 0.1 la pendiente de la cuerda es 2.1, y con h = 0.01 es 2.01. Los valores se acercan a 2.

La especificación de Edexcel A-level Maths (Topic 7) lo exige para potencias como n = 2 y n = 3, y para sin x y cos x.

Cómo derivar paso a paso: las reglas básicas

En la práctica se usan reglas. Estas son las primeras que debes aprender.

Tabla de reglas de derivación con cada función, su derivada y un ejemplo resuelto Las derivadas básicas que debes memorizar.

Función Derivada Ejemplo
x^n n x^(n-1) x^5 da 5x^4
kx k 7x da 7
constante 0 9 da 0
sin x cos x sin 2x da 2 cos 2x
cos x -sin x cos x da -sin x
e^x e^x e^(3x) da 3e^(3x)
ln x 1/x en x = 2, pendiente 1/2

Debajo de la tabla hay dos reglas más:

  • Regla de la suma: deriva cada término por separado y luego súmalos.
  • Regla del factor constante: el número que va delante se queda delante. Así, 3x^4 da 3 x 4x^3 = 12x^3.

Para sin x y cos x, x debe estar en radianes.

En AQA A-level, la regla de la potencia, e^kx, sin kx, cos kx, tan kx y ln x están en el punto de contenido G2. En IB Maths AA, la regla de la potencia para exponentes enteros es SL 5.3, y sin x, cos x, e^x y ln x son SL 5.6. En derivadas, AQA Level 2 Further Maths cubre kx^n con n entero. Para repasar e y ln, lee los logaritmos explicados.

Ejemplo resuelto 1: la regla de la potencia

Deriva y = 3x^4 - 5x^2 + 7x - 2 y halla la pendiente en x = 1.

Animación paso a paso que deriva y = 3x^4 - 5x^2 + 7x - 2 y la evalúa en x = 1 Cada término se deriva por separado.

  1. 3x^4 da 3 x 4x^3 = 12x^3.
  2. -5x^2 da -5 x 2x = -10x.
  3. 7x da 7.
  4. -2 es una constante, así que da 0.
  5. Por lo tanto, dy/dx = 12x^3 - 10x + 7.
  6. En x = 1: 12 - 10 + 7 = 9.

Ejemplo resuelto 2: raíces y fracciones

Deriva y = 4√x + 6/x y halla la pendiente en x = 4.

  1. Escríbelo como potencias: y = 4x^(1/2) + 6x^(-1).
  2. 4x^(1/2) da 4 x (1/2) x^(-1/2) = 2x^(-1/2).
  3. 6x^(-1) da 6 x (-1) x^(-2) = -6x^(-2).
  4. Por lo tanto, dy/dx = 2/√x - 6/x^2.
  5. En x = 4: 2/2 - 6/16 = 1 - 0.375 = 0.625.

¿Cómo se halla la ecuación de la recta tangente y de la normal?

La recta normal es perpendicular a la tangente en el mismo punto. El producto de sus pendientes es -1.

Ejemplo resuelto 3: tangente y normal

Halla la tangente y la normal a y = x^3 - 3x + 1 en x = 2.

  1. Halla el punto: y = 8 - 6 + 1 = 3. El punto es (2, 3).
  2. Deriva: dy/dx = 3x^2 - 3.
  3. Pendiente en x = 2: 3(4) - 3 = 9.
  4. Tangente: y - 3 = 9(x - 2), así que y = 9x - 15.
  5. Pendiente de la normal = -1/9.
  6. Normal: y - 3 = -1/9 (x - 2). Multiplica por 9: 9y - 27 = -x + 2, así que x + 9y - 29 = 0.

Verificación: 2 + 9(3) - 29 = 0, así que (2, 3) está en la normal.

¿Cómo se hallan los puntos estacionarios?

Un punto estacionario es un punto donde la pendiente vale cero. Puede ser un máximo, un mínimo o un punto de inflexión.

El método:

  1. Deriva para obtener dy/dx.
  2. Iguala dy/dx = 0 y despeja x.
  3. Sustituye cada x en y para obtener las coordenadas.
  4. Halla la segunda derivada, d2y/dx2.
  5. Si d2y/dx2 < 0, es un máximo. Si d2y/dx2 > 0, es un mínimo.
  6. Si d2y/dx2 = 0, estudia la pendiente a cada lado.

Ejemplo resuelto 4: máximo y mínimo

Halla y clasifica los puntos estacionarios de y = x^3 - 6x^2 + 9x + 1.

  1. dy/dx = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x - 1)(x - 3).
  2. dy/dx = 0 cuando x = 1 o x = 3.
  3. En x = 1: y = 1 - 6 + 9 + 1 = 5. Punto (1, 5).
  4. En x = 3: y = 27 - 54 + 27 + 1 = 1. Punto (3, 1).
  5. d2y/dx2 = 6x - 12.
  6. En x = 1: 6 - 12 = -6, que es negativo, así que (1, 5) es un máximo.
  7. En x = 3: 18 - 12 = 6, que es positivo, así que (3, 1) es un mínimo.

¿Qué son la regla de la cadena, la del producto y la del cociente?

Regla Cuándo usarla Fórmula
Regla de la cadena Una función dentro de otra dy/dx = dy/du x du/dx
Regla del producto Dos funciones multiplicadas (uv)' = u'v + uv'
Regla del cociente Una función dividida entre otra (u/v)' = (u'v - uv') / v^2

Ejemplo resuelto 5: cadena, producto y cociente

  • Cadena: y = (2x + 1)^5. Baja el 5, resta 1 al exponente y multiplica por 2 (la derivada de lo de dentro): dy/dx = 10(2x + 1)^4. En x = 0 la pendiente es 10.
  • Producto: y = x^2 sin x, así que dy/dx = 2x sin x + x^2 cos x.
  • Cociente: y = ln x / x, así que dy/dx = (1 - ln x) / x^2.

¿Cómo se usa la derivada como tasa de cambio?

Si s es el desplazamiento y t es el tiempo, ds/dt es la velocidad. Por ejemplo, si s = 5t^2, entonces v = 10t, así que en t = 3 la velocidad es 30 m/s. Si derivas otra vez, la aceleración es 10 m/s^2. La misma idea aparece en el movimiento de proyectiles.

¿En qué exámenes entran las derivadas?

Tabla que muestra dónde se examinan las derivadas en A-level, Further Maths, AP Calculus, IB, JEE Main y CBSE Dónde aparecen las derivadas en siete programas de matemáticas habituales.

Programa Dónde Nivel
AQA A-level Maths 7357 Sección G (G1-G6) A-level
Edexcel A-level Maths 9MA0 Pure, Topic 7 A-level
AQA Further Maths 8365 Sección 4, Cálculo Level 2
AP Calculus AB/BC Unidades 2-5 Preparatoria/high school (EE. UU.)
IB Maths AA Tema 5, Cálculo IB DP SL/HL
JEE Main 2027 Matemáticas, unidad 7 Examen de ingreso
CBSE Class 12 Unidad III, Cálculo Class 12 (último año)
  • AQA A-level Maths 7357: la sección G incluye la definición (primeros principios), las derivadas básicas, tangentes, normales, puntos estacionarios y las reglas de la cadena, del producto y del cociente. Consulta nuestra guía de A-level Maths.
  • AQA Level 2 Further Maths 8365: kx^n con n entero, tangentes, normales, d2y/dx2, y máximos y mínimos.
  • AP Calculus AB y BC: las unidades 2 a 5 tratan las derivadas. College Board indica que el contenido del curso no cambia en 2026-27, pero el número de preguntas y los tiempos cambian a partir de los exámenes de mayo de 2027. Consulta nuestra guía de AP Calculus AB vs BC.
  • IB Maths: análisis y enfoques (analysis and approaches): tema 5, Cálculo. La definición por primeros principios (para polinomios) está en AHL 5.12, así que es solo para HL. Consulta IB Maths AA vs AI.
  • JEE Main 2027: el temario de la NTA lo incluye en la unidad 7, "Limit, Continuity and Differentiability" (límites, continuidad y derivabilidad), con derivadas hasta el orden dos y máximos y mínimos. Consulta nuestra guía de JEE Main 2027. Para las fechas del examen, consulta la página oficial.
  • CBSE Class 12: la unidad III, Cálculo, incluye "Continuity and Differentiability" (continuidad y derivabilidad) y "Applications of Derivatives" (aplicaciones de las derivadas). Verifica la versión vigente en la página del currículo académico de CBSE.

¿Cuáles son los errores más comunes al derivar?

  1. Olvidar que la constante se convierte en cero. En y = x^2 + 5, el 5 desaparece.
  2. Bajar mal el exponente cuando es negativo. x^(-1) pasa a ser -x^(-2), no -x^0.
  3. Derivar una raíz o una fracción sin reescribirla antes. Convierte primero 6/x en 6x^(-1).
  4. Olvidar lo de dentro en la regla de la cadena. (2x + 1)^5 da 10(2x + 1)^4, no 5(2x + 1)^4.
  5. Equivocarse con la pendiente de la normal. Es -1 dividido entre la pendiente de la tangente, no solo su opuesto.

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Ejercicios con soluciones

  1. Deriva y = 2x^3 + 4x.
  2. Deriva y = 5/x^2 y halla la pendiente en x = 1.
  3. Halla y clasifica el punto estacionario de y = x^2 - 6x + 11.
  4. Halla la tangente a y = x^2 en x = 3.
  5. Deriva y = sin 3x.

Soluciones

  1. dy/dx = 6x^2 + 4.
  2. y = 5x^(-2), así que dy/dx = -10x^(-3) = -10/x^3. En x = 1 la pendiente es -10.
  3. dy/dx = 2x - 6 = 0, así que x = 3 e y = 9 - 18 + 11 = 2. d2y/dx2 = 2, que es positivo, así que (3, 2) es un mínimo.
  4. Punto (3, 9). Pendiente 2 x 3 = 6. Tangente: y - 9 = 6(x - 3), así que y = 6x - 9.
  5. dy/dx = 3 cos 3x.

Cómo mejorar al derivar

  1. Memoriza la tabla básica.
  2. Reescribe antes de derivar: primero, todo en potencias de x.
  3. Haz tandas cortas todos los días. Diez preguntas rápidas valen más que una sesión larga a la semana.
  4. Clasifica tus errores: ¿regla, álgebra o cálculo?
  5. Pasa a exámenes de años anteriores de tu propio organismo evaluador.

Cómo te ayuda Asymptode con las derivadas

En Asymptode, un mentor calificado le da clases a tu hijo uno a uno, en directo y en línea. El mentor sigue el programa de tu hijo, ya sea la sección G de AQA, el Topic 7 de Edexcel, las unidades 2 a 5 de AP Calculus, el tema 5 de IB AA, la unidad 7 de JEE Main o la unidad III de CBSE, y trabaja con las fechas reales de examen de ese programa.

Entre clase y clase, tu hijo recibe ejercicios hechos para él. Si en su último intento confundió la pendiente de la normal o se olvidó de reescribir 6/x como potencia, la siguiente hoja trabaja justo eso, a su nivel. Nunca es genérica. Es la práctica asistida por IA de Asymptode. Se redacta según las indicaciones del mentor y solo se envía después de que el mentor la apruebe.

Después, el mentor corrige el trabajo. Como madre o padre, ves qué ha entendido y qué debe practicar a continuación. Así la preparación se va corrigiendo sola, desde la regla de la potencia hasta los puntos estacionarios y la regla de la cadena.

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Datos verificados con fuentes oficiales el 12 de noviembre de 2026.

FAQ

¿Qué es derivar, en palabras sencillas?

Es una forma de saber lo rápido que cambia una cosa en comparación con otra. En una gráfica, te da la pendiente de una curva en cualquier punto.

¿Cómo se deriva x^n?

Baja el exponente delante y réstale 1 al exponente. Por ejemplo, x^5 pasa a ser 5x^4, y x^(-1) pasa a ser -x^(-2).

¿Cuál es la derivada de una constante?

Es 0. Una constante no cambia, así que y = 9 es una recta horizontal con pendiente 0.

¿Cómo sé si un punto estacionario es un máximo o un mínimo?

Calcula la segunda derivada en ese punto. Si es negativa, es un máximo; si es positiva, es un mínimo. Si vale cero, estudia la pendiente a cada lado.

¿Entran las derivadas en GCSE Maths?

Consulta la especificación de GCSE de tu propio organismo evaluador. Las derivadas forman parte del AQA Level 2 Certificate in Further Maths (8365), incluidas tangentes, normales y máximos y mínimos.

¿Necesito la definición por primeros principios para mi examen?

AQA y Edexcel A-level la incluyen para potencias enteras positivas pequeñas de x y para sin x y cos x. En IB Maths AA está en AHL 5.12, así que es para alumnos de HL.

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Fuentes

  1. AQA A-level Mathematics 7357 specification (section G: Differentiation)
  2. Pearson Edexcel A-level Mathematics specification, Issue 4 (Topic 7)
  3. AQA Level 2 Certificate in Further Maths 8365
  4. AP Calculus AB course page, AP Central
  5. AP Calculus AB and BC Course and Exam Description
  6. IB Diploma Programme mathematics curriculum
  7. JEE (Main) official site, NTA
  8. CBSE academic curriculum 2026-27