Die meisten Schülerinnen und Schüler lernen a² + b² = c² und setzen sofort Zahlen ein — ohne je zu verstehen, warum es stimmt. Der anschauliche Beweis dauert zwei Minuten und macht den Satz unvergesslich. Die Anwendungen folgen dann von selbst.
In jedem rechtwinkligen Dreieck mit den Kathetenaundbund der Hypotenusec:a² + b² = c²
Die Hypotenuse liegt immer gegenüber dem rechten Winkel — und ist immer die längste Seite.
Brauchst du Hilfe, den Satz auf Textaufgaben anzuwenden?
In einem Beratungsgespräch finden wir genau heraus, wo das Denken abreißt — ohne Druck, ohne Verpflichtung.
Warum stimmt das? Der Flächenbeweis
Zeichne über jede Seite des rechtwinkligen Dreiecks ein Quadrat. Der Flächeninhalt des Quadrats über der Hypotenuse c ist genau so groß wie die Flächen der Quadrate über den Katheten a und b zusammen.
Das ist kein Zufall — es gilt für jedes rechtwinklige Dreieck, unabhängig von den Seitenlängen. Dieser Zusammenhang zwischen den drei Flächen ist das Besondere an rechtwinkligen Dreiecken.
Die Hypotenuse finden (die längste Seite)
Wenn du beide Katheten kennst und die Hypotenuse brauchst, wende die Formel direkt an.
a² + b² = c²
3² + 4² = c²
9 + 16 = c²
25 = c²
c = √25 = 5
Das 3-4-5-Dreieck ist das bekannteste pythagoreische Tripel — ein Satz ganzer Zahlen, der die Gleichung erfüllt. Weitere sind 5-12-13 und 8-15-17.
5² + 8² = c²
25 + 64 = c²
89 = c²
c = √89 ≈ 9.43
Eine fehlende Kathete finden
Wenn du die Hypotenuse und eine Kathete kennst, forme die Formel so um, dass die unbekannte Kathete allein steht.
a² + b² = c²
a² = c² − b²
a² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144
a = √144 = 12
Eine Aufgabe aus dem Alltag
- Hypotenuse = Leiter = 10 m. Eine Kathete = Abstand zur Wand = 6 m. Gesucht ist die andere Kathete (die Höhe).
height² + 6² = 10²
height² = 100 − 36 = 64
height = √64 = 8 m
Ist ein Dreieck rechtwinklig? Die Umkehrung
Der Satz gilt auch umgekehrt: Wenn du drei Seitenlängen kennst, kannst du prüfen, ob das Dreieck einen rechten Winkel hat.
Umkehrung des Satzes des Pythagoras: Wenn a² + b² = c² gilt, dann ist das Dreieck rechtwinklig. Gilt die Gleichung nicht, dann ist es nicht rechtwinklig.6² + 8² = 36 + 64 = 100
10² = 100
- 100 = 100 ✓ — Ja, das Dreieck ist rechtwinklig.
- Die Hypotenuse liegt immer gegenüber dem rechten Winkel — sie ist die längste Seite.
- Für c: a² + b² = c² verwenden und dann die Wurzel ziehen.
- Für eine Kathete: nach a² = c² − b² umstellen und dann die Wurzel ziehen.
- Immer prüfen: Die Hypotenuse muss größer sein als jede einzelne Kathete.
- Pythagoreische Tripel (3-4-5, 5-12-13, 8-15-17) kommen in vielen Prüfungsaufgaben vor — erkenne sie wieder.
Bestimme die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten 6 und 8.
Tipp: 6² + 8² = c²
Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Hypotenuse 17 und eine Kathete 15. Bestimme die andere Kathete.
Tipp: a² = 17² − 15²
Ist ein Dreieck mit den Seiten 7, 24 und 25 rechtwinklig?
Tipp: Prüfe, ob 7² + 24² = 25² gilt.
Ein diagonaler Zaun durchquert einen rechteckigen Garten von 9 m auf 12 m. Wie lang ist der Zaun?
Tipp: Die Diagonale ist die Hypotenuse.
Bestimme die genaue Länge der Diagonale eines Quadrats mit der Seitenlänge 5 cm.
Tipp: Beide Katheten sind 5.
Weiter in der Geometrie
Der Satz des Pythagoras führt direkt zur Abstandsformel, zur Trigonometrie (Sinus, Kosinus, Tangens) und zur Kreisgeometrie. Wenn du in Klasse 9 oder 10 Geometrie lernst, sieh dir die Preise an und leg los und wir planen genau, was als Nächstes dran ist.