Eine quadratische Gleichung ist jede Gleichung, in der die höchste Potenz von x gleich 2 ist — etwa x² − 5x + 6 = 0. Es gibt genau drei verlässliche Verfahren, sie zu lösen. Wer alle drei kennt — und weiß, wann welches passt — bleibt nie stecken.
Jede quadratische Gleichung lässt sich schreiben als ax² + bx + c = 0, wobeia ≠ 0. Die drei Zahlena,bundcheißen Koeffizienten.
Wenn du eine quadratische Gleichung löst, bestimmst du ihre Nullstellen — die Werte von x, an denen die Parabel die x-Achse schneidet. Eine quadratische Gleichung kann zwei Nullstellen, eine (doppelte) Nullstelle oder gar keine reelle Nullstelle haben.
Unsicher, mit welchem Verfahren du anfangen sollst?
In einem Beratungsgespräch finden wir genau heraus, wo das Denken abreißt — ohne Druck, ohne Verpflichtung.
Verfahren 1 — Faktorisieren
Faktorisieren eignet sich am besten, wenn die Gleichung ganzzahlige Nullstellen hat. Du schreibstax² + bx + c als Produkt zweier Klammerausdrücke und nutzt dann den Satz vom Nullprodukt. Wenn das Finden zweier Zahlen mit passendem Produkt und passender Summe eingerostet ist, sieh dir zuerst Teiler und Vielfache und Primfaktorzerlegung an — Faktorisieren ist im Kern eine Teileraufgabe.
Satz vom Nullprodukt: WennA × B = 0, dann ist entwederA = 0oderB = 0(oder beides). Das ist der Schlüssel zum Faktorisieren.
- Wir brauchen zwei Teiler von 6 mit der Summe −5:
? × ? = 6und? + ? = −5.
Antwort:−2und−3(denn −2 × −3 = 6 und −2 + −3 = −5). (x − 2)(x − 3) = 0
- Entweder
x − 2 = 0oderx − 3 = 0x = 2 or x = 3
x = 2:4 − 10 + 6 = 0✓x = 3:9 − 15 + 6 = 0✓
1und6: multipliziert 6, addiert 7 ✓2x² + x + 6x + 3 = 0
x(2x + 1) + 3(2x + 1) = 0
(2x + 1)(x + 3) = 0
2x + 1 = 0 → x = −½x + 3 = 0 → x = −3
Verfahren 2 — Die Lösungsformel
Wenn Faktorisieren schwierig oder unmöglich ist, funktioniert die Lösungsformel immer. Lerne sie auswendig — sie löst jede quadratische Gleichung.
Die Lösungsformel
x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a
wobei ax² + bx + c = 0
a = 2,b = −4,c = −6b² − 4ac = (−4)² − 4(2)(−6) = 16 + 48 = 64
x = (4 ± √64) / 4 = (4 ± 8) / 4
x = (4 + 8)/4 = 12/4 = 3x = (4 − 8)/4 = −4/4 = −1
Der Wert unter der Wurzel sagt dir, wie viele reelle Lösungen es gibt:
- • b² − 4ac > 0 → zwei verschiedene reelle Nullstellen
- • b² − 4ac = 0 → genau eine reelle Nullstelle (doppelt)
- • b² − 4ac < 0 → keine reelle Nullstelle
Verfahren 3 — Quadratische Ergänzung
Die quadratische Ergänzung hat mehr Schritte, liefert aber die Scheitelpunktform der Parabel, die in weiterführenden Aufgaben nützlich ist. Auf diesem Weg wurde auch die Lösungsformel hergeleitet.
x² + 6x = 7
- Die Hälfte von 6 ist 3. Drei zum Quadrat ist 9.
x² + 6x + 9 = 7 + 9
x² + 6x + 9 = 16
(x + 3)² = 16
x + 3 = ±4
x = −3 + 4 = 1 or x = −3 − 4 = −7
Welches Verfahren solltest du nehmen?
| Situation | Bestes Verfahren |
|---|---|
| Sieht nach einer glatten Faktorisierung aus | Faktorisieren (am schnellsten) |
| Unschöne Koeffizienten oder Brüche | Lösungsformel (funktioniert immer) |
| Scheitelpunktform fürs Zeichnen gebraucht | Quadratische Ergänzung |
| Unsicher | Lösungsformel (sicherste Wahl) |
Häufiger Fehler: Das±beim Wurzelziehen zu vergessen. Sowohl+√als auch−√sind gültige Nullstellen — schreibe immer beide Lösungen.
Durch Faktorisieren lösen: x² − 7x + 12 = 0
Tipp: Finde zwei Zahlen, die multipliziert 12 und addiert −7 ergeben.
Mit der Lösungsformel lösen: 3x² − 5x − 2 = 0
Tipp: a = 3, b = −5, c = −2.
Durch quadratische Ergänzung lösen: x² + 4x − 5 = 0
Tipp: Addiere (4/2)² = 4 auf beiden Seiten.
Diskriminante bestimmen und die Anzahl der Nullstellen angeben: 2x² − 3x + 5 = 0
Tipp: b² − 4ac = 9 − 40 = ?
Lösen: x² − 9 = 0
Tipp: Das ist eine Differenz von Quadraten — faktorisiere als (x+3)(x−3) = 0.
Möchtest du mit Rückmeldung üben?
Quadratische Gleichungen sind ein Thema, bei dem kleine Fehler zu größeren anwachsen — besonders unter Prüfungsdruck. In einem Gespräch mit einem Mentor finden wir genau heraus, welcher Schritt dich stolpern lässt, und beheben es, bevor es zur Gewohnheit wird.