你有没有想过，两条公交线路什么时候会在同一站再次相遇；怎样把物资分成尽可能大的若干等份；分数相加为什么需要公分母？这些全是 最大公因数 and 最小公倍数 的问题——一旦看出其中的规律，应用题就不再像是随机出现的了。两个概念都直接从 因数 和 倍数 中生长出来。

最大公因数和最小公倍数的应用题还像在猜？

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什么是最大公因数？

最大公因数 是能把两个或更多个数整除——没有余数——的最大的整数。英语里叫 GCF（greatest common factor），在英国、印度和一些国际课程中，同一个概念被称作 HCF（highest common factor）。最大公因数用到的是公有的因数。
  1. 12 的因数：1、2、3、4、6、12。18 的因数：1、2、3、6、9、18。
  2. 公有：1, 2, 3, 6
  3. 最大公因数(12, 18) = 6（即 HCF(12, 18) = 6）
12 的因数18 的因数最大公因数 = 6公因数：1、2、3、6
最大公因数住在重叠的部分（公因数）里。最小公倍数是两列倍数一起到达的第一个数。

什么是最小公倍数？

最小公倍数 是同时为每个给定数的倍数的那个最小正数。有些教科书写作“最低公倍数”——同一个意思，换了个说法。最小公倍数用到的是公有的倍数。
  1. 4 的倍数：4、8、12、16、…… 6 的倍数：6、12、18、……
  2. 最小公倍数(4, 6) = 12
最大公因数 问的是：“哪个最大的数能同时装进这两个数里？” 最小公倍数 问的是：“这两个数一起最先到达哪个数？”同一对数字——方向相反。

最大公因数与最小公倍数的区别

最大公因数最小公倍数
也叫GCF / HCF（英语）LCM / 分母的公分母
用到公因数公倍数
选取最大的那个最小的那个
典型应用题最大的等份、约分两件事何时再次重合、公分母
对 12 和 18636
对任意两个正整数，GCF × LCM = product of the two numbers。检验：6 × 36 = 216 and 12 × 18 = 216 ✓

方法一：分解质因数

把每个数分解成质数（见我们的分解质因数指南），然后有策略地组合起来。

  1. 24 = 2³ × 3 and 36 = 2² × 3²

  2. GCF = 2² × 3 = 12

  3. LCM = 2³ × 3² = 8 × 9 = 72

方法二：短除法（阶梯法）

用公有的质数去除这两个数，直到不能再除。把左侧的除数相乘得最大公因数；把所有的都相乘得最小公倍数。

  1. 48, 60 → 24, 30 → 12, 15
  2. 12, 15 → 4, 5——两数互质时停下
  3. 2 × 2 × 2 × 3 = 12
  4. 12 × 4 × 5 = 240

生活中的应用题

安排活动与日程

学校募捐每 8 天举行一次；社区清扫每 12 天一次。今天两件事同时发生——下次同时发生是什么时候？最小公倍数(8, 12) = 24 天后。

交通信号灯与重复的图样

两个信号灯每 12 秒和每 18 秒走完一个周期。它们每最小公倍数(12, 18) = 36 秒同步一次——这是两个周期共有的第一个倍数。

音乐节拍与锻炼组数

一组动作每 6 拍重复一次；另一组每 8 拍重复一次。它们每最小公倍数(6, 8) = 24 拍对齐一次。

分组与学校活动

48 个红色筹码和 60 个蓝色筹码——不剩余的情况下，最大的相同堆是多少？最大公因数(48, 60) = 12 个一堆。

常见错误
  • 把最大公因数和最小公倍数弄反。 最大公因数是公有因数里最大的那个；最小公倍数是公有倍数里最小的那个。最大公因数绝不会比原来较小的那个数更大。
  • 题目问的是两件事何时重复，却用了最大公因数。 周期性重复 → 最小公倍数。分成最大的等份 → 最大公因数。
  • 无休止地列倍数。 用分解质因数或短除法，不要列没完没了的表。
  • 求最小公倍数时忘了余下的两个数。 在短除法中，要把所有除数和最后余下的互质数都乘进去。
做分数题时，公分母是各分母的最小公倍数——不是最大公因数。弄反了，分数相加很快就会出错。

  1. 求 15 和 25 的最大公因数与最小公倍数。

    提示：15 = 3×5，25 = 5²。

    查看答案最大公因数 = 5。最小公倍数 = 3 × 5² = 75。

  2. 两口钟分别每 6 分钟和每 9 分钟敲一次。它们在正午一同敲响。下次一同敲响是什么时候？

    提示：这是一道最小公倍数的题。

    查看答案最小公倍数(6, 9) = 18。它们在 12:18 再次一同敲响。

  3. 一位面包师有 36 个纸杯蛋糕和 48 块饼干。她最多能装成多少个内容相同、且没有剩余的礼盒？

    提示：最大的等份 → 最大公因数。

    查看答案最大公因数(36, 48) = 12 个礼盒。每盒装 3 个纸杯蛋糕和 4 块饼干。

  4. 用短除法求最小公倍数(14, 21)。

    提示：先除以 7。

    查看答案14、21 →（÷7 后）2、3。最小公倍数 = 7 × 2 × 3 = 42。

小结

  • 最大公因数＝公有因数中最大的那个（英语的 HCF／GCF 是同一个概念）。
  • 最小公倍数＝公有倍数中最小的那个——两列数一起到达的最小的数。
  • 分解质因数：最大公因数取较低次数，最小公倍数取较高次数。
  • 日程安排与重复的图样 → 最小公倍数。最大的等份 → 最大公因数。

把整幅图搭起来

最大公因数和最小公倍数坐在因数与倍数以及质数之上。在 Asymptode，我们一对一地把这些概念走一遍，直到背后的道理说得通——而不只是步骤。如果还有哪一层让你觉得不稳，就回头看看那些指南；之后分数和代数都会容易得多。

常见问题

什么是最大公因数？

两个或更多数的最大公因数，是能把它们全部整除的最大整数。对 12 和 18 来说，公因数是 1、2、3 和 6，所以最大公因数是 6。英语中同一个值在美国和加拿大叫 GCF，在英国、印度和一些国际课程里叫 HCF。

什么是最小公倍数？

两个或更多数的最小公倍数，是同时是它们每一个的倍数的最小正数。对 4 和 6 来说，倍数在 12、24、36…… 处重合，所以最小公倍数是 12。

最大公因数和最小公倍数有什么区别？

最大公因数从公因数里挑最大的；最小公倍数从公倍数里挑最小的。最大公因数回答“能同时整除两者的最大数是多少？”；最小公倍数回答“两者都能到达的最小数是多少？”

GCF 和 HCF 有什么区别？

是同一个数。GCF（greatest common factor）是美国和加拿大数学里的标准说法。HCF（highest common factor）意思相同，常用于英国、印度和其他国家。中文两者都叫最大公因数。

最大公因数在生活里什么时候用？

当你需要把东西分成尽可能大的相等组时，最大公因数就有用——把物资分给各组、把丝带剪成尽可能长的等长段，或者把分子分母同除以最大公因数来约分。

最小公倍数在生活里什么时候用？

当重复发生的事件需要对齐时，最小公倍数就有用——红绿灯一起变、算出两条公交线路何时再次相遇，或者通过找公分母（分母的最小公倍数）来做分数加法。