每次你解锁手机或在网上购物，中学的数学都在幕后工作。质数——恰好只有两个因数的整数——正是现代加密能够成立的原因。在讲到那里之前，让我们一步一步、清清楚楚地把这个概念从头搭起来。
考试时质数和合数还是分不清？
一次咨询，我们就能准确找出思路在哪里断掉——不推销，也没有任何义务。
什么是质数？
质数是大于1的整数，且恰好有两个因数:1和它本身。没有别的数能把它整除。
最前面的几个质数是 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, … 注意 2 是唯一的偶质数——其他每个偶数都能被 2 整除，所以因数多于两个。
什么是合数？
合数是大于 1 的整数，且有两个以上 因数。它可以被拆成更小的整数积木。例子：4（因数 1、2、4）、9（1、3、9）、15（1、3、5、15）。你日常遇到的大多数数都是合数。
是质数还是合数，其实问的是一个数有多少个因数：恰好两个 → 质数；多于两个 → 合数。
为什么 1 既不是质数也不是合数
学生常问：“1 不是质数吗？它只能被 1 整除啊！”关键在定义：质数必须有恰好两个 因数。而 1 只有一个因数——它本身。它不满足“恰好两个”这条规则，所以既不是质数也不是合数。数学家这样规定，是为了让每个合数分解成质数的方式恰好只有一种（算术基本定理）。
在一些小测里，1 常被错答成“质数”。记住：质数指的是两个因数，而不是“只能被 1 整除”。质数表（前 25 个）
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97每个大于 3 的质数都紧挨着 6 的倍数（小 1 或大 1）。这个规律在判断一个数是否可能是质数时很有用。
分解质因数入门
每个合数都能写成若干质数的乘积——这就是它的质因数分解。因数树是把它找出来的直观办法。
60 = 6 × 106 = 2 × 3和10 = 2 × 560 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3 × 5
分解质因数是最大公因数与最小公倍数背后的引擎——数一旦被拆成质数，找公因数和公倍数就变成机械操作了。
互质数（互素）
两个数叫做互质（或互素），如果它们唯一的公因数是 1。它们不共有任何别的除数。8 和 15 互质：8 的因数是 1、2、4、8；15 的因数是 1、3、5、15——唯一重叠的是 1。要紧的是，互质的两个数本身不必是质数。9 和 14 都是合数，却互质。
质数与互质：“质数”说的是一个数本身恰好有两个因数。“互质”说的是两个数之间的一种关系——它们除了 1 没有公因数。孪生质数——一个好奇心钩子
孪生质数是恰好相差 2 的质数对：(3, 5)、(5, 7)、(11, 13)、(17, 19)。数学家猜想它们有无穷多对——但至今无人证明。这是数论里最古老的未解之谜之一，而它的起点正是你刚学的数因数这件事。
这为什么真的重要
互联网安全与加密
当你登录网上银行时，浏览器用的是RSA 加密。它的安全性靠的是把两个极大的质数乘在一起——乘起来容易，但如果不知道那两个质数，想倒推回去实际上不可能。一个恰好由两个大质因数组成的数就是那把锁；没有钥匙而要找出那两个因数，正是攻击者面前的难关。
计算机科学与数字谜题
散列表、随机数发生器和校验码都依赖质数大小的结构。数独的格子、蝉的周期谜题以及编程面试题，底下常常藏着质数的逻辑。
自然界：蝉的生命周期
北美的周期蝉每 13 年或 17 年出土一次——两个都是质数。这样的周期让捕食者很难与它们对上。在人类发明 RSA 的几百万年前，演化就撞上了一个数论策略。
快速判断质数的小技巧
- 除了 2，每个质数都是奇数——如果一个数是偶数且大于 2，它就是合数。
- 按顺序试小质数：2、3、5、7、11……如果都不能整除，这个数就是质数（对你能手算检验的数而言）。
- 看 3：把各位数字相加——如果和能被 3 整除，这个数就是合数（例如 51 → 5+1=6）。
- 看 5：如果末位是 0 或 5（且这个数大于 5），它就是合数。
- 你只需要试到这个数的平方根为止的质数。
常见错误
- 把 1 叫作质数。 它只有一个因数，不是两个。
- 以为所有奇数都是质数。
9 = 3 × 3和15 = 3 × 5都是奇合数。 - 把质数和互质混在一起。 两个质数可以互质（例如
3和5），但互质的一对里也可以有合数。 - 忘了 2 是质数。 它是唯一的偶质数——也是所有质数里最小的。
29 是质数还是合数？写出你的理由。
提示：试着用 2、3、5 去除——到 √29 ≈ 5.4 为止。
查看答案
是质数。29 不能被 2、3、5 整除，而在 √29 以下也没有别的因数。写出 84 的质因数分解。
提示：从 84 = 2 × 42 开始，然后继续拆。
查看答案
84 = 2 × 2 × 3 × 7 = 2² × 3 × 714 和 25 互质吗？说明理由。
提示：列出各自的因数，看除了 1 还有没有公有的。
查看答案
是的。14 的因数：1、2、7、14。25 的因数：1、5、25。唯一的公因数是 1，所以它们互质。说出 20 到 40 之间的一对孪生质数。
提示：找相差 2 的质数。
查看答案
(29, 31) 或 (31, 37)——这个区间里最经典的孪生对是 (29, 31)。
小结
- 质数恰好有两个因数：1 和它本身。
- 合数的因数多于两个；1 两者都不是。
- 分解质因数把合数拆成质数积木。
- 互质是说两个数除了 1 没有公因数——它们不必是质数。
- 质数驱动加密、出现在自然界，并通向最大公因数与最小公倍数。
接下来：最大公因数与最小公倍数
分解质因数是通向最大公因数与最小公倍数（在一些国家叫 HCF）的桥梁。请继续阅读最大公因数与最小公倍数详解。
常见问题
什么是质数？
质数是大于 1 的整数，恰好有两个因数：1 和它本身。例子有 2、3、5、7、11 和 13。
什么是合数？
合数是大于 1 的整数，有多于两个因数。例如 12 是合数，因为它的因数有 1、2、3、4、6 和 12。
为什么 1 既不是质数也不是合数？
按定义，质数恰好有两个因数。数字 1 只有一个因数（它本身），所以不符合质数的条件。它也不是合数，因为合数必须有多于两个因数。
什么是互质数？
如果两个数唯一的公因数是 1，它们就是互质的。例如 8 和 15 互质。它们本身不必是质数——9 和 14 互质，尽管两者都是合数。
质数和互质数有什么区别？
质数是单独一个数，恰好有两个因数。互质描述的是两个数之间的关系——它们除了 1 没有公因数。质数之间可以互质（如 3 和 5），但互质的一对也可以包含合数（如 4 和 9）。