一元二次方程是指未知数 x 的最高次数为 2 的方程，例如 x² − 5x + 6 = 0。可靠的解法正好有三种。三种都会，并且知道什么时候用哪一种，你就不会卡住。

任何一元二次方程都可以写成 ax² + bx + c = 0，其中 a ≠ 0。这三个数 a、b、c 叫做 系数。
xyx₁x₂顶点
一元二次方程的图像是一条抛物线。根就是它与 x 轴相交的位置。

解一元二次方程，就是求它的 根——也就是抛物线与 x 轴相交处 x 的值。一元二次方程可能有两个根、一个根（重根），也可能没有实数根。

不确定先用哪种解法？

一次咨询就能准确找出推理在哪里断掉——没有推销，也没有任何约束。

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解法一 —— 因式分解

当方程的根是比较整齐的整数时，因式分解最好用。把ax² + bx + c改写成两个括号式子的乘积，再用乘积为零的性质。如果“找两个数，相乘又相加刚好合适”已经生疏了，先复习 因数与倍数 和 质因数分解——因式分解本质上就是换了样子的因数题。

乘积为零的性质：若 A × B = 0，那么 A = 0 或 B = 0（或两者都成立）。这就是因式分解的钥匙。
  1. 我们需要 6 的两个 因数，它们的和是 −5：? × ? = 6 和 ? + ? = −5。
    答案：−2 和 −3（因为 −2 × −3 = 6，−2 + −3 = −5）。

  2. (x − 2)(x − 3) = 0

  3. x − 2 = 0 或 x − 3 = 0

    x = 2    or    x = 3

  4. x = 2：4 − 10 + 6 = 0 ✓
    x = 3：9 − 15 + 6 = 0 ✓
  1. 1 和 6：相乘得 6，相加得 7 ✓

  2. 2x² + x + 6x + 3 = 0

    x(2x + 1) + 3(2x + 1) = 0

    (2x + 1)(x + 3) = 0

  3. 2x + 1 = 0 → x = −½
    x + 3 = 0 → x = −3

解法二 —— 求根公式

当因式分解很难或做不到时，求根公式总是有效。把这个公式背下来——它能解 任何一元二次方程。

求根公式

x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a

其中 ax² + bx + c = 0

  1. a = 2、b = −4、c = −6

  2. b² − 4ac = (−4)² − 4(2)(−6) = 16 + 48 = 64

  3. x = (4 ± √64) / 4 = (4 ± 8) / 4

  4. x = (4 + 8)/4 = 12/4 = 3
    x = (4 − 8)/4 = −4/4 = −1
根号下的值告诉你有几个实数解：
  • • b² − 4ac > 0 → 两个不同的实数根
  • • b² − 4ac = 0 → 恰好一个实数根（重根）
  • • b² − 4ac < 0 → 没有实数根

解法三 —— 配方法

配方法步骤更多，但能给出抛物线的顶点式，在更进一步的内容里很有用。求根公式也正是这样推导出来的。

  1. x² + 6x = 7

  2. 6 的一半是 3，3 的平方是 9。

    x² + 6x + 9 = 7 + 9

    x² + 6x + 9 = 16

  3. (x + 3)² = 16

  4. x + 3 = ±4

    x = −3 + 4 = 1    or    x = −3 − 4 = −7

该用哪种解法？

情况最合适的解法
看起来能整齐地因式分解因式分解（最快）
系数麻烦或有分数求根公式（总是有效）
画图需要顶点式配方法
不确定求根公式（最稳妥的默认选择）
常见错误：开平方时忘了 ± 号。+√ 和 −√ 都是有效的根——两个解都要写出来。

  1. 用因式分解解：x² − 7x + 12 = 0

    提示：找两个数，相乘得 12，相加得 −7。

  2. 用求根公式解：3x² − 5x − 2 = 0

    提示：a = 3，b = −5，c = −2。

  3. 用配方法解：x² + 4x − 5 = 0

    提示：两边加上 (4/2)² = 4。

  4. 求判别式并说明有几个根：2x² − 3x + 5 = 0

    提示：b² − 4ac = 9 − 40 = ?

  5. 解：x² − 9 = 0

    提示：这是平方差——分解成 (x+3)(x−3) = 0。

想在练习时得到反馈吗？

一元二次方程是那种小错误会累积成大错误的内容——考试压力下更是如此。一次 与导师的交流 能准确找出是哪一步让你出错，并在它变成习惯之前纠正过来。