你有没有想过，老师是怎么分出人数相同的小组，日历为什么能准确地重复，计算机又是怎么整理信息的？这些背后都是同一套数学：因数和倍数。因数告诉你一个数怎么拆开；倍数告诉你它怎么往上数。一旦你看出两者的区别，最大公因数、最小公倍数和质数就不再像是随机的名词——它们开始像你早就在用的工具。
因数和倍数还像是两个随机的名词？
一次咨询，我们就能准确找出思路在哪里断掉——不推销，也没有任何义务。
什么是因数？
一个数的因数（也叫除数）是能把它整除——没有余数——的整数。当你说“3 是 12 的因数”时，意思是 12 ÷ 3 = 4，而且什么也不剩。把因数看作乘在一起造出一个数的积木。12 可以搭成 1 × 12、2 × 6 或 3 × 4。这些乘法里的每一块都是 12 的因数。
每个整数至少有两个因数：1和它本身。这就是1显得特别的原因——它能整除一切。只有这两个因数的数叫做质数——我们在质数、合数与互质数的指南里讲它们。
因数对
因数天然成因数对出现——两个数相乘正好得到你的目标数。把这些对列出来，是找齐每个因数而不漏掉任何一个的最干净的办法。
1 × 18 = 18→ 得到 (1, 18)2 × 9 = 18→ 得到 (2, 9)3 × 6 = 18→ 得到 (3, 6)18 ÷ 4 = 4.5——不是整数，所以 4 不是因数。当这些对开始重复时就停。- 18 的因数：1, 2, 3, 6, 9, 18
怎样找因数（一步一步来）
- 写下你要研究的那个数。
- 从 1 往上，逐个试整数。
- 每当除得尽时，就记下这一对因数。
- 当这些对开始重复时（第一个数超过第二个数时）就停止试。
- 把你那些对里所有不重复的因数列出来。
1×36,2×18,3×12,4×9,6×6。再下一个会是9×4——重复了。- 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36——总共九个因数。
小检验
往下看之前，随便挑一个小于30 的数，把它的因数对念出来。如果你能顺畅地念出来，倍数会很轻松——那是同一个想法，翻过来看而已。什么是倍数？
一个数的倍数，就是你把这个数乘以任意整数后得到的结果：0, 1, 2, 3, …。5的倍数是0, 5, 10, 15, 20, …——你是在以5为步长等距往上数。
如果因数问的是“什么能整除这个数”，那么倍数问的是“这个数往上数到哪些数”。在数轴上，4 的倍数落在每第四个刻度上：4, 8, 12, 16, …
7×0=0,7×1=7,7×2=14,7×3=21,7×4=28,7×5=35- 7 的倍数：0, 7, 14, 21, 28, 35, …——它们永不停止。
因数与倍数的区别
| 因数 | 倍数 | |
|---|---|---|
| 回答什么问题 | 什么能整除这个数？ | 这个数往上数到哪些数？ |
| 运算 | 除法（无余数） | 与整数相乘 |
| 通常大小（当 n > 1） | ≤ n（除了 n 本身） | ≥ n（并且无限增大） |
| 有多少个？ | 总是有限个 | 无限多个 |
| 以 12 为例 | 1, 2, 3, 4, 6, 12 | 0, 12, 24, 36, 48, … |
一个数永远既是它自己的因数，也是它自己的倍数。12是12的因数，也是12的倍数。这两个词描述的是不同的关系，而不是不同的数。
因数与倍数在生活里的用处
分配物品与运动队
设想办一场有 24 名球员的足球赛。队伍人数相同，就意味着队数必须是 因数（24 的）：你可以组 2 队、每队 12, 3 队、每队 8，或者 4 队、每队 6。如果你想要 5 队，就会有人坐冷板凳——因为 5 不是 24 的因数。
把纸杯蛋糕等量装盒
你为义卖烤了 30 个纸杯蛋糕。每盒装得一样多、不剩下——这又是一个因数问题。30 的因数会告诉你每一种公平的分法：2×15, 3×10, 5×6。
日历与日常作息
垃圾每 3 天收一次；可回收物每 4 天收一次。两件事什么时候会在同一天？你需要一个同时出现在两张倍数表里的数——一个公倍数。这个想法直接通向最大公因数与最小公倍数（在一些国家最大公因数也叫 HCF）。
课堂活动与分组
一位老师有 28 个筹码，想为数学活动角分出人数相同的小组。列出 28 的因数，立刻就能得到每一种可行的组别大小——14 人一对、7 人一组，或者 4 人一桌。
学生常犯的错误
- 把因数和倍数弄混。 记住：因数是能除进这个数的；倍数是你拿这个数去乘所得到的。
- 忘了 1 和这个数本身。 这两个永远都是因数。至于倍数，有的课程把 0 算进去，有的从这个数本身开始——查一下你的教科书，但要知道两种约定都存在。
- 因数对停得太早。 一直试到这一对里的第一个数会超过第二个数为止。
- 列倍数时没有规律。 倍数总是以固定的步长增加。如果你的表乱跳，就是哪里出错了。
自己试一试
列出 20 的所有因数。
提示：从 1 开始找因数对。
查看答案
1, 2, 4, 5, 10, 20写出 9 的前五个倍数（从 9 本身开始）。
提示：把 9 分别乘以 1、2、3、4、5。
查看答案
9, 18, 27, 36, 45一位教练有 32 名运动员。能不能分成 5 个人数相同的队、一个人也不剩？用因数来说明。
提示：5 是 32 的因数吗？
查看答案
不能。32 ÷ 5 = 6.4，不是整数，所以 5 不是 32 的因数。要分成人数相同的 5 队，就一定会把人落下。哪个数既是 24 的因数，又是 4 的倍数？
提示：看看两张表里都出现的数。
查看答案
4、8、12 和 24 都可以。例如 12 是 24 的因数（24 ÷ 12 = 2），也是 4 的倍数（4 × 3 = 12）。
小结
- 因数能把一个数整除；用因数对把它们列齐。
- 倍数是与整数相乘的结果；这张表永远列不完。
- 因数通常较小（或相等）；倍数通常较大（或相等）。
- 这两个概念处处出现——体育、包装、日历，以及后面的最大公因数、最小公倍数和质数。
接下来：质数与互质数
当因数变得自然之后，下一个问题是：哪些数的因数最少？那就是质数——而它们比你以为的更有用。请继续看我们的质数、合数与互质数指南。理解胜过死记——而这正是我们在一对一课堂上教它的方式。
常见问题
数学里的因数是什么？
一个数的因数是能把它整除、没有余数的整数。例如 12 的因数是 1、2、3、4、6 和 12，因为每一个都能把 12 整除。
数学里的倍数是什么？
一个数的倍数是把这个数乘上任意整数所得的结果。5 的倍数是 5、10、15、20，依此类推——也就是以 5 为步长往上数。
因数和倍数有什么区别？
因数能除进一个数里；倍数是你乘上整数之后得到的。12 的因数更小（或相等）；12 的倍数是 12、24、36——更大（或相等）。任何数既是自己的因数，也是自己的倍数。
什么是因数对？
因数对是两个相乘等于目标数的数。对 12 来说，因数对是 (1, 12)、(2, 6) 和 (3, 4)。把成对列出来，有助于不漏掉任何一个因数。
1 是每个数的因数吗？
是。1 能把任何整数整除，所以 1 永远是因数。它也是任何数最小的因数（0 除外，这个阶段的常规因数练习不用它）。