大多数学生学会了a² + b² = c²，就马上开始往里代数字——却从来没有弄懂它为什么成立。看图证明只要两分钟，却能让人记住这个定理一辈子。之后的应用自然就跟上了。
在任意直角三角形中，两条直角边为a和b，斜边为c：a² + b² = c²
斜边总是直角所对的那条边，也总是最长的一条边。
想在应用题里用上这个定理，需要帮助吗？
一次咨询就能准确找出推理在哪里断掉——没有推销，也没有任何约束。
为什么成立？面积证明
在直角三角形的每条边上各画一个正方形。斜边c上的正方形面积，正好等于两条直角边a和b上两个正方形面积之和。
这不是巧合——无论边长是多少，它对每一个直角三角形都成立。正是这三个面积之间的关系，让直角三角形与众不同。
求斜边（最长的边）
已知两条直角边、要求斜边时，直接套公式。
a² + b² = c²
3² + 4² = c²
9 + 16 = c²
25 = c²
c = √25 = 5
3-4-5 三角形是最有名的勾股数——满足这个定理的一组整数。另外还有 5-12-13 和 8-15-17。
5² + 8² = c²
25 + 64 = c²
89 = c²
c = √89 ≈ 9.43
求一条未知的直角边
已知斜边和一条直角边时，把公式变形，让未知的那条边单独留在一边。
a² + b² = c²
a² = c² − b²
a² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144
a = √144 = 12
生活中的问题
- 斜边＝梯子＝10 m。一条直角边＝离墙的距离＝6 m。要求的是另一条直角边（高度）。
height² + 6² = 10²
height² = 100 − 36 = 64
height = √64 = 8 m
这个三角形是直角三角形吗？定理的逆定理
这个定理反过来也成立：知道三条边的长度，就能判断这个三角形有没有直角。
勾股定理的逆定理：若a² + b² = c²成立，这个三角形就是直角三角形；等式不成立，就不是。6² + 8² = 36 + 64 = 100
10² = 100
- 100 = 100 ✓ —— 是的，这是一个直角三角形。
- 斜边总是直角所对的那条边，也是最长的一条边。
- 求 c：用 a² + b² = c²，再开平方。
- 求一条直角边：变形成 a² = c² − b²，再开平方。
- 一定要复核：斜边必须比任意一条直角边都长。
- 勾股数（3-4-5、5-12-13、8-15-17）在考题里经常出现——要认得出来。
求直角边为 6 和 8 的直角三角形的斜边。
提示：6² + 8² = c²
一个直角三角形的斜边是 17，一条直角边是 15。求另一条直角边。
提示：a² = 17² − 15²
边长为 7、24、25 的三角形是直角三角形吗？
提示：检验 7² + 24² = 25² 是否成立。
一道篱笆沿对角线穿过一个 9 m × 12 m 的长方形花园。篱笆有多长？
提示：对角线就是斜边。
求边长为 5 cm 的正方形对角线的精确长度。
提示：两条直角边都是 5。
几何的下一步
勾股定理直接通向两点间距离公式、三角函数（正弦、余弦、正切）和圆的几何。如果你正在学初三或高一的几何，查看价格，马上开始，我们会一起定好接下来要学什么。