先生がどうやって同じ人数の班をつくるのか、カレンダーがなぜぴったり繰り返すのか、コンピュータはどうやって情報を並べるのか——考えたことはありませんか。その裏にあるのはどれも同じ数学です。約数 と 倍数 です。約数はその数がどう分かれるかを、倍数はその数がどう数え上がっていくかを教えてくれます。ちがいが見えてしまえば、最大公約数も最小公倍数も素数も、ばらばらの用語には感じられません——もう使っている道具のように感じられます。
約数と倍数が、まだばらばらの二つの用語のように感じられますか。
面談では、考え方がどこでつまずいているのかを正確に突き止めます。売り込みも、契約の義務もありません。
約数とは
約数（除数 ともいいます）とは、ある数を きちんと 割りきる整数のことです——あまりが出ません。「3 は 12 の約数」というとき、12 ÷ 3 = 4 で、あまりが残らない、という意味です。約数は、かけ合わせてその数をつくる部品だと考えてください。12 は 1 × 12、2 × 6、3 × 4 として組み立てられます。これらのかけ算に出てくるどの部品も 12 の約数です。
どの整数にも少なくとも二つの約数があります——1とその数自身です。だから1は特別に感じられます——すべてを割りきるからです。約数が この二つだけ の数を素数といいます——素数・合成数・互いに素な数 の手引きで扱っています。
約数の組
約数は自然と 約数の組 で現れます——かけ合わせて目当ての数になる二つの数です。組を書き出すのが、どの約数も見落とさずに見つけるいちばんきれいな方法です。
1 × 18 = 18→ 組 (1, 18)2 × 9 = 18→ 組 (2, 9)3 × 6 = 18→ 組 (3, 6)18 ÷ 4 = 4.5——整数ではないので、4 は約数ではありません。組が重なり始めたらやめます。- 18 の約数：1, 2, 3, 6, 9, 18
約数の見つけ方（順を追って）
- 調べたい数を書く。
- 1 から上へ、整数を試す。
- 割り算があまりなく終わるたびに、約数の組を書き留める。
- 組が重なり始めたら（最初の数が二つめを超えたら）試すのをやめる。
- 組から、重なりのない約数をすべて書き出す。
1×36,2×18,3×12,4×9,6×6。次は9×4——重なりです。- 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 ——全部で九個の約数です。
ちょっと確かめ
先へ進む前に、30 より小さい数をどれでも選んで、その約数の組を声に出して言ってみてください。すらすら言えるなら、倍数はやさしく感じられます——同じ考えを裏返しただけです。倍数とは
倍数 とは、ある数に整数をかけて得られる数のことです：0, 1, 2, 3, …。5の倍数は0, 5, 10, 15, 20, …です——5ずつの同じ跳び方で数え上がっているのです。
約数が「この数を割りきるのは何か」をたずねるなら、倍数は「この数はどこまで数え上がるか」をたずねます。数直線の上では、4 の倍数は四つおきの目もりに来ます：4, 8, 12, 16, …
7×0=0,7×1=7,7×2=14,7×3=21,7×4=28,7×5=35- 7 の倍数：0, 7, 14, 21, 28, 35, … ——終わりがありません。
約数と倍数のちがい
| 約数 | 倍数 | |
|---|---|---|
| 答える問い | この数を割りきるのは何か | この数はどこまで数え上がるか |
| 計算 | わり算（あまりなし） | 整数とのかけ算 |
| ふつうの大きさ（n > 1 のとき） | ≤ n（n 自身を除く） | ≥ n（そして限りなく大きくなる） |
| いくつあるか | いつも有限個 | 無限個 |
| 12 の例 | 1, 2, 3, 4, 6, 12 | 0, 12, 24, 36, 48, … |
どの数も、自分自身の 約数 であり 倍数 でもあります。12は12の約数であり、12の倍数です。この言葉はちがう関係を表していて、ちがう数を表しているのではありません。
約数と倍数の暮らしでの使い道
物やスポーツのチームを分ける
24 人でサッカーの大会をひらくと考えてみましょう。同じ人数のチームにするには、チームの数が 約数（24 の）でなければなりません。2 人のチームを 12, 3 人のチームを 8、あるいは 4 人のチームを 6 つくれます。5 チームにしたいとなると、だれかが余ります——5 は 24 の約数ではないからです。
カップケーキを等分に箱詰めする
バザーのためにカップケーキを 30 個焼きました。箱には同じ数だけ入れて、あまりは出さない——これもまた約数の問いです。30 の約数が、公平な分け方をすべて教えてくれます：2×15, 3×10, 5×6。
カレンダーと毎日の習慣
ごみの収集は 3 日ごと、資源の収集は 4 日ごとです。両方が同じ日に来るのはいつでしょう。どちらの 倍数の列にも現れる数が必要です——公倍数です。この考えはそのまま 最大公約数と最小公倍数（国によっては HCF と呼ばれます）へつながります。
授業の活動と班分け
28 枚の札をもつ先生が、算数のコーナーのために同じ人数の班をつくりたいとします。28 の約数を書き出せば、使える班の大きさがすぐにすべて分かります——14 人の組、7 人の班、4 人のテーブル。
生徒がよくするまちがい
- 約数と倍数を混同する。 覚えておきましょう。約数はその数を 割りきる もの、倍数はその数に かけて 得られるものです。
- 1 とその数自身を忘れる。 どちらもいつも約数です。倍数については、0 を入れる教科書もあり、その数自身から始める教科書もあります——自分の教科書を見て、どちらの決め方もあると知っておきましょう。
- 約数の組を早く切り上げすぎる。 組の最初の数が二つめを超えるところまで、試し続けましょう。
- 並びを考えずに倍数を書き出す。 倍数はいつも決まった歩幅で増えます。列がばらばらに跳ぶなら、どこかがまちがっています。
やってみましょう
20 の約数をすべて書き出しなさい。
ヒント：1 から約数の組を探します。
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1, 2, 4, 5, 10, 209 のはじめの五つの倍数を書きなさい（9 自身から始めて）。
ヒント：9 に 1, 2, 3, 4, 5 をかけます。
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9, 18, 27, 36, 45コーチに 32 人の選手がいます。だれも余らせずに 5 つの同じ人数のチームをつくれますか。約数を使って説明しなさい。
ヒント：5 は 32 の約数でしょうか。
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いいえ。32 ÷ 5 = 6.4 で整数ではないので、5 は 32 の約数ではありません。だれも外さずに 5 人ずつの同じチームをつくることはできません。24 の約数であり、同時に 4 の倍数でもある数はどれですか。
ヒント：どちらの列にも現れる数を調べます。
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4, 8, 12, 24 のどれも当てはまります。たとえば 12 は 24 の約数（24 ÷ 12 = 2）であり、4 の倍数（4 × 3 = 12）です。
まとめ
- 約数はある数をきちんと割りきる。約数の組で書き出す。
- 倍数は整数をかけた結果で、その列は終わりなく続く。
- 約数はふつう小さい（か等しい）。倍数はふつう大きい（か等しい）。
- どちらの考えもたえず現れる——スポーツ、箱詰め、カレンダー、そしてのちの最大公約数・最小公倍数・素数に。
次は：素数と互いに素な数
約数が自然に感じられたら、次の問いはこうです——約数がいちばん少ない数はどれか。それが素数で、思うよりずっと役に立ちます。素数・合成数・互いに素な数の手引き へ進んでください。覚えこむより分かることが勝ちます——一対一の授業で、まさにそのように教えています。
よくある質問
数学でいう約数とは何ですか。
ある数の約数とは、その数をあまりなくちょうど割り切る整数のことです。たとえば12の約数は1、2、3、4、6、12で、どれも12をきちんと割り切ります。
数学でいう倍数とは何ですか。
ある数の倍数とは、その数に任意の整数をかけた結果です。5の倍数は5、10、15、20……つまり5ずつ数え上げていくことです。
約数と倍数の違いは何ですか。
約数はある数の中に入っていくもの、倍数は整数をかけて出てくるものです。12の約数は12より小さい（または等しい）、12の倍数は12、24、36——より大きい（または等しい）。どの数も自分自身の約数であり倍数でもあります。
約数の組とは何ですか。
約数の組とは、かけ合わせて目当ての数になる二つの数のことです。12なら(1, 12)、(2, 6)、(3, 4)です。組を書き出すと、どの約数も見落とさずに見つけられます。
1はどの数の約数でもありますか。
はい。1はどんな整数もちょうど割り切るので、1はいつでも約数です。またどの数にとってもいちばん小さい約数です（この段階の通常の約数の学習で使われない0は別です）。