たとえば x + 5 = 12 のような式を見て、x とは何だろうと思ったことがあるでしょう。文字でしょうか。なぞなぞでしょうか。ひっかけでしょうか。どれでもありません。変数とは、まだ分からない数を入れておく場所のことです。そこが分かると、はじめの代数がまるごと意味を持ちはじめます。
変数とは何か
変数は、名前の書いてある箱だと思ってください。箱には名前がついていて、ふつうは x ですが、y、n など、どの文字でもかまいません。そして中にはちょうど一つの数が入ります。方程式でのあなたの仕事は、その箱にどの数が入るのかを突き止めることです。
変数 とは、分からない数を表す文字のことです。ある変数について方程式を 解く と、その文字が表している数が分かります。
変数にはどんな数でも入ります。整数、分数、負の数、0 でも入ります。整数のかけ算やわり算がまだあやふやなら、まず 約数と倍数のガイド で土台を作り直してから、代数の先へ進むのがいちばんです。文字そのものには、方程式を解くまで値はありません。
読んでも変数がまだ分かりにくいですか。
面談では、考え方がどこでつまずいているのかを正確に突き止めます。売り込みも、契約の義務もありません。
つり合いの原理 — 代数でいちばん大切な考え
方程式は、ぴったりつり合った天びんのようなものです。等号 = は、両辺の重さがまったく同じであることを表します。片方に重さを足したら、もう片方にも同じだけ足さなければなりません。そうしないと天びんは傾き、式はこわれてしまいます。
いちばん大事な決まり： 片方の辺にしたことは、もう片方の辺にもしなければなりません。たす、ひく、かける、わる — いつも両辺に同じだけ。
かんたんな方程式の解き方 — 順を追って
解くときの目標は、等号の片側に変数だけを残すことです。これを変数を 独立させる といいます。中学1年から2年でよく出る型を見ていきましょう。
型1：1回で解ける方程式
5がたされています。たし算をもとに戻すには、ひき算をします。x + 5 − 5 = 12 − 5
x = 7
- もどして代入：
7 + 5 = 12✓
xに3がかけられています。かけ算をもとに戻すには、わり算をします。3x ÷ 3 = 18 ÷ 3
x = 6
- もどして代入：
3 × 6 = 18✓
型2：2回で解ける方程式
2回で解ける方程式は、二つの計算が組み合わさっています。やり方は、逆の順にもとへ戻すことです。まずたし算かひき算を、つぎにかけ算かわり算をもとに戻します。
2x + 6 − 6 = 14 − 6
2x = 8
2x ÷ 2 = 8 ÷ 2
x = 4
- もどして代入：
2(4) + 6 = 8 + 6 = 14✓
x/3 − 2 + 2 = 7 + 2
x/3 = 9
x/3 × 3 = 9 × 3
x = 27
- もどして代入：
27/3 − 2 = 9 − 2 = 7✓
よくある間違い： 計算を 両方の 辺にするのを忘れること。たとえば2x + 6 = 14→2x = 14と書くと、右辺から 6 をひくのを飛ばしてしまい、答えが違ってしまいます。
両辺に変数があるとき
ときには x が式の両辺に出てきます。こつは、まず変数の項をすべて片側に集めることです。
5x − 3x − 3 = 3x − 3x + 7
2x − 3 = 7
2x = 10
x = 5
- 左辺：
5(5) − 3 = 22。右辺：3(5) + 7 = 22✓
早見表：計算をもとに戻す
| x に… | こうしてもとに戻す |
|---|---|
| 何かがたされている | 同じ数をひく |
| 何かがひかれている | 同じ数をたす |
| 何かがかけられている | 同じ数でわる |
| 何かでわられている | 同じ数をかける |
解きなさい：x − 9 = 14
ヒント：両辺に 9 をたしましょう。
解きなさい：4x = 36
ヒント：両辺を 4 でわりましょう。
解きなさい：3x + 5 = 20
ヒント：先に 5 をひいて、それからわりましょう。
解きなさい：x/4 + 1 = 6
ヒント：先に 1 をひいて、それから 4 をかけましょう。
解きなさい：6x − 4 = 2x + 12
ヒント：まず x の項を片側に集めましょう。
次の段階に進む準備はできましたか。
一次方程式を楽に解けるようになったら、次の自然な一歩は二つの変数を同時にあつかうことです。これを 連立方程式 といいます。そのあとは二次方程式が、まったく新しい種類の問題を開いてくれます。
この土台づくりを1対1で手伝ってほしいときは、料金を見てはじめる と、いまの到達点と次に取り組むことを正確に見きわめます。