携帯のロックを解くとき、ネットで買い物をするとき、裏では中学校の数学が働いています。素数 ——約数 がちょうど二つだけの整数——があるおかげで、いまの暗号は成り立っています。そこへ行く前に、はっきりした一歩ずつ、この考えを土台から組み立てましょう。

テストで素数と合成数がまだ混ざりますか。

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素数とは

素数 とは、1 より大きい整数で、約数: 1 とその数自身。ほかのどの数でも割りきれません。

最初のいくつかの素数は 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, … です。2 が唯一の偶数の素数であることに注意しましょう——ほかのどの偶数も 2 で割れるので、約数が二つより多くなります。

7 ——素数約数：1, 7約数はちょうど 2 個12 ——合成数1, 2, 3, 4, 6, 12約数は 2 個より多い
素数の約数はちょうど二つ（1 とその数自身）。合成数の約数は二つより多い。

合成数とは

合成数 とは、1 より大きい整数で、二つより多い 約数 をもつ数です。より小さい整数の部品に分けられます。

例：4（約数 1, 2, 4）、9（1, 3, 9）、15（1, 3, 5, 15）。ふだん出会う数のほとんどは合成数です。

素数か合成数か は、つまり数が 約数 をいくつもつかという問いです。ちょうど二つ → 素数、二つより多い → 合成数。

1 が素数でも合成数でもない理由

生徒はよく聞きます——「1 は素数ではないの。1 でしか割れないのに」。落とし穴は定義です。素数は ちょうど二つ 約数 をもたなければなりません。1 の約数は一つ——自分自身だけです。「ちょうど二つ」の決まりを満たさないので、素数でも合成数でもありません。どの合成数もただ一通りに素数へ分かれるように（算術の基本定理）、数学はこう決めたのです。

小テストでは 1 が「素数」として誤って答えられることがあります。覚えておきましょう。素数とは約数が 二つ ということで、「1 でしか割れない」ことではありません。

素数の表（最初の 25 個）

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

3 より大きいどの素数も、6 の倍数のとなりにあります（一つ小さいか、一つ大きい）。この型は、ある数が素数かどうかを調べるときに役に立ちます。

素因数分解のきほん

どの合成数も素数の積として書けます——それが 素因数分解 です。因数の木が、それを見つける絵の方法です。

366623…同じ分け方 → 2, 3
因数の木は合成数を素因数に分けます。36 = 2 × 2 × 3 × 3。
  1. 60 = 6 × 10
  2. 6 = 2 × 3 と 10 = 2 × 5

  3. 60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3 × 5

素因数分解は 最大公約数と最小公倍数 の原動力です——数が素数に分かれてしまえば、共通の約数や倍数を見つけるのは機械的になります。

互いに素な数

二つの数が 互いに素（たがいに素）であるとは、共通の 約数 が 1 だけであることです。ほかの公約数をもちません。

8 と 15 は互いに素です。8 の約数は 1, 2, 4, 8、15 の約数は 1, 3, 5, 15——重なるのは 1 だけ。大切なのは、互いに素な数そのものが素数である必要はない ことです。9 と 14 はどちらも合成数ですが、互いに素です。

素数と互いに素： 「素数」は、約数がちょうど二つの 一つの数 を表します。「互いに素」は二つの数のあいだの 関係 を表します——1 以外に公約数をもたない、ということです。

双子素数——好奇心の引っかかり

双子素数 とは、ちょうど 2 だけ離れた素数の組です：(3, 5)、(5, 7)、(11, 13)、(17, 19)。数学者は無限にあると見ていますが、まだだれも証明していません。数論でもっとも古い未解決の謎の一つで、いま学んだ約数を数える考えから始まります。

これがほんとうに大事な理由

インターネットの安全と暗号

ネットバンキングにログインするとき、ブラウザは RSA 暗号 を使います。その安全は、二つの巨大な素数をかけ合わせることに頼っています——かけるのは簡単ですが、その素数を知らないかぎり元に戻すのは事実上できません。大きな素因数 がちょうど二つの数が錠で、鍵なしにその因数を見つけることが、攻撃する側に立ちはだかる難しさなのです。

計算機科学と数のなぞなぞ

ハッシュ表、乱数の生成、誤りを見つける符号は、どれも素数の大きさをもつ構造に頼っています。数独の盤、セミの周期のなぞなぞ、採用面接の問題にも、素数の論理がしばしば隠れています。

自然：セミの一生

北アメリカの周期ゼミは 13 年または 17 年ごとに地上へ出ます——どちらも素数です。この周期のおかげで、捕食者が時期を合わせにくくなります。人間が RSA を考え出す何百万年も前に、進化は数論の作戦に行き当たっていたのです。

素数をすばやく見分けるこつ

  • 2 以外のどの素数も奇数です——2 より大きい偶数なら、それは合成数です。
  • 小さい素数を順に試す：2, 3, 5, 7, 11…。どれでも割りきれなければ、その数は素数です（手で確かめられる大きさの数について）。
  • 3 のとき：各位の数を足す——その和が 3 で割れるなら合成数です（たとえば 51 → 5+1=6）。
  • 5 のとき：末位が 0 か 5 なら（そして 5 より大きければ）合成数です。
  • 試すのは、その数の平方根までの素数だけでよいのです。
よくあるまちがい
  • 1 を素数と呼ぶ。 約数は一つで、二つではありません。
  • 奇数はみな素数だと思う。 9 = 3 × 3 と 15 = 3 × 5 は奇数の合成数です。
  • 素数と互いに素を混同する。 二つの素数は互いに素になれますが（たとえば 3 と 5）、互いに素な組には合成数が入ることもあります。
  • 2 が素数であることを忘れる。 2 は唯一の偶数の素数で、しかもいちばん小さい素数です。

  1. 29 は素数ですか、合成数ですか。考えの筋を示しなさい。

    ヒント：2, 3, 5 で割れるか試し、√29 ≈ 5.4 でやめます。

    答えを見る素数です。29 は 2 でも 3 でも 5 でも割りきれず、√29 より小さいところにほかの約数はありません。

  2. 84 の素因数分解を書きなさい。

    ヒント：84 = 2 × 42 から始めて、分け続けます。

    答えを見る84 = 2 × 2 × 3 × 7 = 2² × 3 × 7

  3. 14 と 25 は互いに素ですか。説明しなさい。

    ヒント：それぞれの約数を書き出し、1 以外に共通のものがあるか見ます。

    答えを見るはい。14 の約数：1, 2, 7, 14。25 の約数：1, 5, 25。共通の約数は 1 だけなので、互いに素です。

  4. 20 と 40 のあいだの双子素数の組を一つ挙げなさい。

    ヒント：2 だけ離れた素数を探します。

    答えを見る(29, 31) または (31, 37)——その範囲の代表的な双子の組は (29, 31) です。

まとめ

  • 素数の約数はちょうど二つ：1 とその数自身。
  • 合成数の約数は二つより多い。1 はどちらでもない。
  • 素因数分解は合成数を素数の部品に分ける。
  • 互いに素とは、二つの数が 1 以外の約数をもたないこと——素数である必要はない。
  • 素数は暗号を動かし、自然にも現れ、最大公約数と最小公倍数につながる。

次は：最大公約数と最小公倍数

素因数分解は、最大公約数と最小公倍数（国によっては HCF と呼ばれます）へわたる橋です。つづきは 最大公約数と最小公倍数の解説 へ。

よくある質問

素数とは何ですか。

素数とは1より大きい整数で、約数がちょうど二つ——1と自分自身——のものです。たとえば2、3、5、7、11、13です。

合成数とは何ですか。

合成数とは1より大きい整数で、約数が二つより多いものです。たとえば12は約数が1、2、3、4、6、12なので合成数です。

なぜ1は素数でも合成数でもないのですか。

定義により素数は約数をちょうど二つもちます。1は約数が一つ（自分自身）だけなので素数にあたりません。合成数でもありません。合成数は約数が二つより多くなければならないからです。

互いに素な数とは何ですか。

二つの数の共通の約数が1だけであるとき、その二つは互いに素といいます。たとえば8と15は互いに素です。それぞれが素数である必要はありません——9と14はどちらも合成数ですが互いに素です。

素数と「互いに素」の違いは何ですか。

素数は、約数がちょうど二つである一つの数のことです。「互いに素」は二つの数のあいだの関係を表し、1以外に共通の約数をもたないことをいいます。素数どうしが互いに素であることもありますが（3と5など）、互いに素な組に合成数が入ることもあります（4と9など）。