二つのバス路線がいつ同じ停留所でまた出会うのか、道具をできるだけ大きな等しい組に分けるにはどうするのか、分数の足し算になぜ共通の分母が必要なのか——そう考えたことはありませんか。どれも 最大公約数 and 最小公倍数 の問いです。そして型が見えてしまえば、文章題はもう場当たりには感じられません。どちらの考えも 約数 と 倍数 から直に育ちます。

最大公約数と最小公倍数の文章題が、まだ当てもののように感じられますか。

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最大公約数とは

最大公約数 とは、二つ以上の数をあまりなくきちんと割りきる もっとも大きい 整数です。英語では GCF（greatest common factor）、イギリスやインド、いくつかの国際カリキュラムでは HCF（highest common factor）と呼ばれます。最大公約数は共通の 約数 を使います。
  1. 12 の約数：1, 2, 3, 4, 6, 12。18 の約数：1, 2, 3, 6, 9, 18。
  2. 共通：1, 2, 3, 6
  3. 最大公約数(12, 18) = 6（HCF(12, 18) = 6 と同じ）
12 の約数18 の約数最大公約数 = 6共通の約数：1, 2, 3, 6
最大公約数は重なった部分（共通の約数）にいます。最小公倍数は、二つの倍数の列がいっしょに届く最初の数です。

最小公倍数とは

最小公倍数 とは、与えられたどの数の倍数にもなっている もっとも小さい 正の数です。「最小の公倍数」と書く教科書もあります——同じ考えの言いかえです。最小公倍数は共通の 倍数 を使います。
  1. 4 の倍数：4, 8, 12, 16, … 6 の倍数：6, 12, 18, …
  2. 最小公倍数(4, 6) = 12
最大公約数 は「両方に入るいちばん大きい数は何か」を問います。最小公倍数 は「両方が届くいちばん小さい数は何か」を問います。同じ数の組で、向きが反対なのです。

最大公約数と最小公倍数のちがい

最大公約数最小公倍数
別の呼び方GCF / HCF（英語）LCM / 分母の最小公倍数
使うもの共通の約数共通の倍数
選ぶものもっとも大きいものもっとも小さいもの
よくある文章題最大の等しい組、分数の約分ものごとがまた重なる時、共通の分母
12 と 18 では636
任意の二つの正の整数について、GCF × LCM = product of the two numbers。確かめ：6 × 36 = 216 and 12 × 18 = 216 ✓

方法1：素因数分解

それぞれの数を素数に分けます（素因数分解の手引き を参照）。それから、ねらいをもって組み合わせます。

  1. 24 = 2³ × 3 and 36 = 2² × 3²

  2. GCF = 2² × 3 = 12

  3. LCM = 2³ × 3² = 8 × 9 = 72

方法2：すだれ算（はしご算）

二つの数を共通の素数で、割れなくなるまで割ります。左の割る数をかけ合わせると最大公約数、すべてをかけ合わせると最小公倍数です。

  1. 48, 60 → 24, 30 → 12, 15
  2. 12, 15 → 4, 5——互いに素になったら止める
  3. 2 × 2 × 2 × 3 = 12
  4. 12 × 4 × 5 = 240

暮らしのなかの文章題

行事と暦

学校の募金活動は 8 日ごと、地域の清掃は 12 日ごとに行われます。今日は両方が重なりました——次に重なるのはいつでしょう。最小公倍数(8, 12) = 24 日後です。

信号機と繰り返す模様

二つの信号は 12 秒ごと、18 秒ごとに一巡します。両方がそろうのは最小公倍数(12, 18) = 36 秒ごと——二つの周期に共通する最初の倍数です。

音楽の拍と運動の組み立て

ある運動は 6 拍ごとに、別の運動は 8 拍ごとに繰り返します。そろうのは最小公倍数(6, 8) = 24 拍ごとです。

グループ分けと学校の活動

48 個の赤い札と 60 個の青い札——あまりを出さずに作れる、いちばん大きい同じ山は。最大公約数(48, 60) = 12 枚ずつです。

よくあるまちがい
  • 最大公約数と最小公倍数を入れちがえる。 最大公約数は共通の約数のうち もっとも大きいもの、最小公倍数は共通の倍数のうち もっとも小さいもの です。最大公約数が、もとの小さいほうの数より大きくなることはありません。
  • ものごとが繰り返す時を問われているのに最大公約数を使う。 繰り返す予定 → 最小公倍数。最大の等しい組に分ける → 最大公約数。
  • 倍数をいつまでも書き続ける。 きりのない列ではなく、素因数分解かすだれ算を使いましょう。
  • 最小公倍数の積で、残った数を忘れる。 すだれ算では、すべて の割る数と、最後に残った互いに素な数をかけます。
分数の計算では、共通の分母は分母たちの最小公倍数です——最大公約数ではありません。入れちがえると、分数の足し算はすぐに崩れます。

  1. 15 と 25 の最大公約数と最小公倍数を求めなさい。

    ヒント：15 = 3×5、25 = 5²。

    答えを見る最大公約数 = 5。最小公倍数 = 3 × 5² = 75。

  2. 二つの鐘が 6 分ごと、9 分ごとに鳴ります。正午にいっしょに鳴りました。次にいっしょに鳴るのはいつですか。

    ヒント：これは最小公倍数の問題です。

    答えを見る最小公倍数(6, 9) = 18。12 時 18 分にまたいっしょに鳴ります。

  3. パン屋にカップケーキが 36 個、クッキーが 48 枚あります。あまりを出さずに詰められる、同じ中身の贈り物の箱は最大で何箱ですか。

    ヒント：最大の等しい組 → 最大公約数。

    答えを見る最大公約数(36, 48) = 12 箱。1 箱にカップケーキ 3 個とクッキー 4 枚が入ります。

  4. すだれ算で最小公倍数(14, 21) を求めなさい。

    ヒント：まず 7 で割ります。

    答えを見る14, 21 → 2, 3（÷7 のあと）。最小公倍数 = 7 × 2 × 3 = 42。

まとめ

  • 最大公約数＝共通する約数のうちもっとも大きいもの（英語の HCF／GCF も同じ考え）。
  • 最小公倍数＝共通する倍数のうちもっとも小さいもの——二つの列が届く最小の数。
  • 素因数分解：最大公約数は指数の小さいほう、最小公倍数は大きいほう。
  • 予定や繰り返す模様 → 最小公倍数。最大の等しい組 → 最大公約数。

全体像を組み立てる

最大公約数と最小公倍数は 約数と倍数 と 素数 の上に立っています。Asymptodeでは、手順だけでなく、その考え方がかみ合うまで一対一でたどっていきます。どこかの層がまだあやしいなら、その手引きに戻ってください。そのあとは分数も代数もずっとやさしくなります。

よくある質問

最大公約数とは何ですか。

二つ以上の数の最大公約数とは、それらすべてをちょうど割り切るいちばん大きい整数です。12と18では公約数が1、2、3、6なので、最大公約数は6です。英語では同じ値をアメリカとカナダで GCF、イギリス・インドや一部の国際カリキュラムで HCF と呼びます。

最小公倍数とは何ですか。

二つ以上の数の最小公倍数とは、それぞれの倍数になっているいちばん小さい正の数です。4と6では倍数が12、24、36……で重なるので、最小公倍数は12です。

最大公約数と最小公倍数の違いは何ですか。

最大公約数は公約数を使っていちばん大きいものを選びます。最小公倍数は公倍数を使っていちばん小さいものを選びます。最大公約数は「両方を割り切るいちばん大きい数は何か」に答え、最小公倍数は「両方が届くいちばん小さい数は何か」に答えます。

GCF と HCF の違いは何ですか。

同じ数です。GCF（greatest common factor）はアメリカとカナダの数学で標準の言い方です。HCF（highest common factor）も同じ考えで、イギリス、インド、ほかの国々でよく使われます。日本語ではどちらも最大公約数です。

最大公約数は日常でいつ使いますか。

最大公約数は、ものをできるだけ大きい等しいグループに分けたいときに役立ちます——用具をチームに分ける、リボンをできるだけ長い等しい長さに切る、あるいは分数の分子と分母を最大公約数で割って約分する、といった場面です。

最小公倍数は日常でいつ使いますか。

最小公倍数は、繰り返す出来事をそろえたいときに役立ちます——信号が同時に変わる周期、二つのバス路線が次に出会う時刻、あるいは分母の最小公倍数で共通の分母を見つけて分数を足す、といった場面です。