ほとんどの生徒はa² + b² = c²を習うとすぐに数を当てはめ始め、それがなぜ成り立つのかを理解しないままです。図による証明は2分で終わり、定理を忘れられないものにします。応用はそのあと自然についてきます。
直角をはさむ2辺がaとb、斜辺がcのどんな直角三角形でも：a² + b² = c²
斜辺は常に直角の向かいにある辺で、常にいちばん長い辺です。
定理を文章題に使うのに手助けが必要ですか。
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なぜ成り立つのか：面積による証明
直角三角形の各辺の上に正方形をかきます。斜辺cの上の正方形の面積は、直角をはさむ辺aとbの上の2つの正方形の面積の和にちょうど等しくなります。
これは偶然ではありません。辺の長さに関係なく、すべての直角三角形で成り立ちます。この3つの面積の関係こそが、直角三角形を特別なものにしています。
斜辺（いちばん長い辺）を求める
直角をはさむ2辺がわかっていて斜辺を求めるときは、公式をそのまま使います。
a² + b² = c²
3² + 4² = c²
9 + 16 = c²
25 = c²
c = √25 = 5
3-4-5の三角形はもっとも有名なピタゴラス数です。定理を満たす整数の組で、ほかに5-12-13や8-15-17があります。
5² + 8² = c²
25 + 64 = c²
89 = c²
c = √89 ≈ 9.43
足りない辺を求める
斜辺と直角をはさむ1辺がわかっているときは、求める辺だけが残るように公式を変形します。
a² + b² = c²
a² = c² − b²
a² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144
a = √144 = 12
身のまわりの問題
- 斜辺＝はしご＝10 m。直角をはさむ1辺＝壁からの距離＝6 m。もう1辺（高さ）を求めます。
height² + 6² = 10²
height² = 100 − 36 = 64
height = √64 = 8 m
その三角形は直角三角形か：定理の逆
この定理は逆向きにも使えます。3辺の長さがわかれば、その三角形に直角があるかどうかを調べられます。
ピタゴラスの定理の逆：もしa² + b² = c²が成り立てば、その三角形は直角三角形です。この式が成り立たなければ、直角三角形ではありません。6² + 8² = 36 + 64 = 100
10² = 100
- 100 = 100 ✓ — はい、直角三角形です。
- 斜辺は常に直角の向かいにあり、いちばん長い辺です。
- cを求めるには：a² + b² = c²を使い、平方根をとります。
- 直角をはさむ辺を求めるには：a² = c² − b²に変形し、平方根をとります。
- 必ず確かめましょう。斜辺は、どちらの辺よりも長くなります。
- ピタゴラス数（3-4-5、5-12-13、8-15-17）は試験によく出ます。覚えておきましょう。
直角をはさむ辺が6と8の直角三角形の斜辺を求めなさい。
ヒント：6² + 8² = c²
斜辺が17、直角をはさむ1辺が15の直角三角形があります。もう1辺を求めなさい。
ヒント：a² = 17² − 15²
辺が7、24、25の三角形は直角三角形ですか。
ヒント：7² + 24² = 25²が成り立つか調べましょう。
9 m×12 mの長方形の庭を、柵が対角線に横切っています。柵の長さはどれだけですか。
ヒント：対角線が斜辺です。
1辺が5 cmの正方形の対角線の正確な長さを求めなさい。
ヒント：どちらの辺も5です。
図形の学習の次の一歩
ピタゴラスの定理は、2点間の距離の公式、三角比（サイン・コサイン・タンジェント）、円の性質に直接つながります。中学3年から高校1年の図形を学んでいるなら、料金を見てはじめると、次に何を学ぶかを一緒に決めます。