二次方程式とは、x の最も高い次数が2である方程式のことです。たとえば x² − 5x + 6 = 0 のような式です。解き方は、信頼できるものがちょうど三つあります。三つとも知っていて、どれをいつ使うかが分かっていれば、行き詰まることはありません。
二次方程式はどれも ax² + bx + c = 0 の形に書けます（a ≠ 0）。三つの数a、b、cを 係数 といいます。
二次方程式を解くとは、解 を求めること、つまり放物線がx軸と交わる x の値を求めることです。二次方程式の解は、二つのとき、一つ（重解）のとき、実数の解がないときがあります。
どの解き方から試せばよいか迷っていますか。
面談では、考え方がどこでつまずいているのかを正確に突き止めます。売り込みも、契約の義務もありません。
解き方1 — 因数分解
因数分解は、解がきれいな整数になるときにいちばん向いています。ax² + bx + c をかっこの付いた二つの式の積に書き直し、積が0になる性質を使います。かけて・たしてちょうどになる二つの数を探すのが久しぶりなら、まず 約数と倍数 と 素因数分解 を見直してください。因数分解は、形を変えた約数の問題です。
積が0になる性質：もしA × B = 0なら、A = 0かB = 0のどちらか（または両方）です。これが因数分解の鍵です。
- 6 の 約数 のうち、和が −5 になる二つが必要です：
? × ? = 6と? + ? = −5。
答え：−2と−3（−2 × −3 = 6、−2 + −3 = −5 だから）。 (x − 2)(x − 3) = 0
x − 2 = 0かx − 3 = 0x = 2 or x = 3
x = 2：4 − 10 + 6 = 0✓x = 3：9 − 15 + 6 = 0✓
1と6：かけて 6、たして 7 ✓2x² + x + 6x + 3 = 0
x(2x + 1) + 3(2x + 1) = 0
(2x + 1)(x + 3) = 0
2x + 1 = 0 → x = −½x + 3 = 0 → x = −3
解き方2 — 解の公式
因数分解が難しい、またはできないときでも、解の公式は必ず使えます。この公式は覚えてください。どんな二次方程式でも解けます。
二次方程式の解の公式
x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a
ただし ax² + bx + c = 0
a = 2、b = −4、c = −6b² − 4ac = (−4)² − 4(2)(−6) = 16 + 48 = 64
x = (4 ± √64) / 4 = (4 ± 8) / 4
x = (4 + 8)/4 = 12/4 = 3x = (4 − 8)/4 = −4/4 = −1
根号の中の値から、実数の解がいくつあるか分かります：
- • b² − 4ac > 0 → 異なる二つの実数の解
- • b² − 4ac = 0 → 実数の解がちょうど一つ（重解）
- • b² − 4ac < 0 → 実数の解はない
解き方3 — 平方完成
平方完成は手順が多いですが、放物線の頂点の形が得られ、進んだ内容で役に立ちます。解の公式も、この方法から導かれました。
x² + 6x = 7
- 6 の半分は 3。3 の2乗は 9。
x² + 6x + 9 = 7 + 9
x² + 6x + 9 = 16
(x + 3)² = 16
x + 3 = ±4
x = −3 + 4 = 1 or x = −3 − 4 = −7
どの解き方を使えばよいか
| 状況 | 向いている解き方 |
|---|---|
| きれいに因数分解できそう | 因数分解（いちばん速い） |
| 係数が面倒、または分数がある | 解の公式（必ず使える） |
| グラフをかくのに頂点の形が必要 | 平方完成 |
| 迷うとき | 解の公式（いちばん安全） |
よくある間違い：平方根をとるときに±の符号を忘れること。+√と−√はどちらも正しい解です。必ず二つとも書きましょう。
因数分解で解きなさい：x² − 7x + 12 = 0
ヒント：かけて 12、たして −7 になる二つの数を見つけましょう。
解の公式で解きなさい：3x² − 5x − 2 = 0
ヒント：a = 3、b = −5、c = −2。
平方完成で解きなさい：x² + 4x − 5 = 0
ヒント：両辺に (4/2)² = 4 をたしましょう。
判別式を求め、解の個数を答えなさい：2x² − 3x + 5 = 0
ヒント：b² − 4ac = 9 − 40 = ?
解きなさい：x² − 9 = 0
ヒント：これは平方の差です。(x+3)(x−3) = 0 と因数分解しましょう。
答え合わせをしながら練習したいですか。
二次方程式は、小さな間違いが大きな間違いに積み重なりやすい単元です。とくに試験の緊張の中ではそうです。メンターとの面談で、どの手順でつまずいているのかを正確に見つけ、習慣になる前に直します。