La plupart des élèves apprennent a² + b² = c² puis se mettent aussitôt à remplacer les lettres par des nombres — sans jamais comprendre pourquoi c'est vrai. La démonstration visuelle prend deux minutes et rend le théorème inoubliable. Les applications suivent ensuite d'elles-mêmes.
Dans tout triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit sontaetbet l'hypoténusec:a² + b² = c²
L'hypoténuse est toujours le côté opposé à l'angle droit — et toujours le plus long.
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Pourquoi est-ce vrai ? La démonstration par les aires
Trace un carré sur chaque côté du triangle rectangle. L'aire du carré construit sur l'hypoténuse c est exactement égale à la somme des aires des carrés construits sur les côtés a et b.
Ce n'est pas un hasard — cela vaut pour tout triangle rectangle, quelles que soient les longueurs des côtés. C'est la relation entre ces trois aires qui rend les triangles rectangles particuliers.
Trouver l'hypoténuse (le côté le plus long)
Quand tu connais les deux côtés de l'angle droit et que tu cherches l'hypoténuse, applique la formule directement.
a² + b² = c²
3² + 4² = c²
9 + 16 = c²
25 = c²
c = √25 = 5
Le triangle 3-4-5 est le triplet pythagoricien le plus connu — un ensemble de nombres entiers qui vérifient l'égalité. Il y a aussi 5-12-13 et 8-15-17.
5² + 8² = c²
25 + 64 = c²
89 = c²
c = √89 ≈ 9.43
Trouver un côté manquant
Quand tu connais l'hypoténuse et un côté, transforme la formule pour isoler le côté inconnu.
a² + b² = c²
a² = c² − b²
a² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144
a = √144 = 12
Un problème concret
- Hypoténuse = échelle = 10 m. Un côté = distance au mur = 6 m. On cherche l'autre côté (la hauteur).
height² + 6² = 10²
height² = 100 − 36 = 64
height = √64 = 8 m
Ce triangle est-il rectangle ? La réciproque
Le théorème fonctionne aussi dans l'autre sens : si tu connais les trois longueurs, tu peux vérifier si le triangle a un angle droit.
Réciproque du théorème de Pythagore : Si a² + b² = c², alors le triangle est rectangle. Si l'égalité n'est pas vérifiée, il ne l'est pas.6² + 8² = 36 + 64 = 100
10² = 100
- 100 = 100 ✓ — Oui, ce triangle est rectangle.
- L'hypoténuse est toujours opposée à l'angle droit — c'est le côté le plus long.
- Pour trouver c : utilise a² + b² = c², puis prends la racine carrée.
- Pour trouver un côté de l'angle droit : transforme en a² = c² − b², puis prends la racine carrée.
- Vérifie toujours : l'hypoténuse doit être plus longue que chacun des deux autres côtés.
- Les triplets pythagoriciens (3-4-5, 5-12-13, 8-15-17) reviennent dans beaucoup de sujets d'examen — apprends à les reconnaître.
Trouve l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent 6 et 8.
Indice : 6² + 8² = c²
Un triangle rectangle a une hypoténuse de 17 et un côté de 15. Trouve l'autre côté.
Indice : a² = 17² − 15²
Un triangle de côtés 7, 24 et 25 est-il rectangle ?
Indice : vérifie si 7² + 24² = 25².
Une clôture traverse en diagonale un jardin rectangulaire de 9 m sur 12 m. Quelle est la longueur de la clôture ?
Indice : la diagonale est l'hypoténuse.
Trouve la longueur exacte de la diagonale d'un carré de 5 cm de côté.
Indice : les deux côtés valent 5.
La suite en géométrie
Le théorème de Pythagore mène directement à la formule de la distance, à la trigonométrie (sinus, cosinus, tangente) et à la géométrie du cercle. Si tu étudies la géométrie en troisième ou en seconde, consulte les tarifs et commence et nous définirons précisément la suite du programme.