La mayoría de los estudiantes aprende a² + b² = c² y se pone a sustituir números de inmediato, sin llegar a entender por qué es cierto. La demostración visual lleva dos minutos y hace que el teorema no se olvide. Las aplicaciones vienen después solas.
En cualquier triángulo rectángulo con catetosaybe hipotenusac:a² + b² = c²
La hipotenusa es siempre el lado opuesto al ángulo recto, y siempre el lado más largo.
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¿Por qué es cierto? La demostración por áreas
Dibuja un cuadrado sobre cada lado del triángulo rectángulo. El área del cuadrado sobre la hipotenusa c es exactamente igual a la suma de las áreas de los cuadrados sobre los catetos a y b.
No es una casualidad: se cumple en todo triángulo rectángulo, sean cuales sean las longitudes de los lados. La relación entre esas tres áreas es lo que hace especiales a los triángulos rectángulos.
Hallar la hipotenusa (el lado más largo)
Cuando conoces los dos catetos y necesitas la hipotenusa, aplica la fórmula directamente.
a² + b² = c²
3² + 4² = c²
9 + 16 = c²
25 = c²
c = √25 = 5
El triángulo 3-4-5 es la terna pitagórica más famosa: un conjunto de números enteros que cumplen el teorema. Otras son 5-12-13 y 8-15-17.
5² + 8² = c²
25 + 64 = c²
89 = c²
c = √89 ≈ 9.43
Hallar un cateto que falta
Cuando conoces la hipotenusa y un cateto, reordena la fórmula para dejar solo el cateto desconocido.
a² + b² = c²
a² = c² − b²
a² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144
a = √144 = 12
Un problema de la vida real
- Hipotenusa = escalera = 10 m. Un cateto = distancia a la pared = 6 m. Se busca el otro cateto (la altura).
height² + 6² = 10²
height² = 100 − 36 = 64
height = √64 = 8 m
¿Es un triángulo rectángulo? El recíproco
El teorema también funciona al revés: si conoces las tres longitudes, puedes comprobar si el triángulo tiene un ángulo recto.
Recíproco del teorema de Pitágoras: Si a² + b² = c², el triángulo es rectángulo. Si la igualdad no se cumple, no lo es.6² + 8² = 36 + 64 = 100
10² = 100
- 100 = 100 ✓ — Sí, es un triángulo rectángulo.
- La hipotenusa está siempre opuesta al ángulo recto: es el lado más largo.
- Para hallar c: usa a² + b² = c² y extrae la raíz cuadrada.
- Para hallar un cateto: reordena a a² = c² − b² y extrae la raíz cuadrada.
- Comprueba siempre: la hipotenusa debe ser mayor que cada cateto.
- Las ternas pitagóricas (3-4-5, 5-12-13, 8-15-17) aparecen en muchas preguntas de examen: aprende a reconocerlas.
Halla la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos 6 y 8.
Pista: 6² + 8² = c²
Un triángulo rectángulo tiene hipotenusa 17 y un cateto 15. Halla el otro cateto.
Pista: a² = 17² − 15²
¿Es rectángulo un triángulo de lados 7, 24 y 25?
Pista: comprueba si 7² + 24² = 25².
Una valla cruza en diagonal un jardín rectangular de 9 m por 12 m. ¿Cuánto mide la valla?
Pista: la diagonal es la hipotenusa.
Halla la longitud exacta de la diagonal de un cuadrado de 5 cm de lado.
Pista: los dos catetos valen 5.
Lo siguiente en geometría
El teorema de Pitágoras conduce directamente a la fórmula de la distancia, a la trigonometría (seno, coseno, tangente) y a la geometría del círculo. Si estudias geometría en 3.º o 4.º de ESO, consulta los precios y empieza y trazaremos exactamente qué tocar después.