A maioria dos alunos aprende a² + b² = c² e começa na hora a substituir números — sem nunca entender por que isso é verdade. A demonstração visual leva dois minutos e deixa o teorema inesquecível. As aplicações vêm depois, naturalmente.

Em qualquer triângulo retângulo com catetos a e b e hipotenusa c:

a² + b² = c²

A hipotenusa é sempre o lado oposto ao ângulo reto — e sempre o lado mais longo.
abc(hipotenusa)
No triângulo retângulo: os dois lados mais curtos são os catetos (a e b); o lado mais longo, oposto ao ângulo reto, é a hipotenusa (c).

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Por que isso é verdade? A demonstração pelas áreas

Desenhe um quadrado sobre cada lado do triângulo retângulo. A área do quadrado sobre a hipotenusa c é exatamente igual à soma das áreas dos quadrados sobre os catetos a e b.

a²b²c²=a² + b² = c²
Demonstração visual: o quadrado sobre a hipotenusa (c²) tem a mesma área que os dois quadrados menores juntos (a² + b²).
Não é coincidência — vale para todo triângulo retângulo, quaisquer que sejam os comprimentos dos lados. A relação entre essas três áreas é o que torna os triângulos retângulos especiais.

Encontrar a hipotenusa (o lado mais longo)

Quando você conhece os dois catetos e precisa da hipotenusa, aplique a fórmula direto.

  1. a² + b² = c²

  2. 3² + 4² = c²

    9 + 16 = c²

    25 = c²

  3. c = √25 = 5

O triângulo 3-4-5 é o terno pitagórico mais famoso — um conjunto de números inteiros que satisfazem o teorema. Outros são 5-12-13 e 8-15-17.

  1. 5² + 8² = c²

    25 + 64 = c²

    89 = c²

  2. c = √89 ≈ 9.43

Encontrar um cateto que falta

Quando você conhece a hipotenusa e um cateto, reorganize a fórmula para isolar o cateto desconhecido.

  1. a² + b² = c²

  2. a² = c² − b²

  3. a² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144

  4. a = √144 = 12

Um problema do dia a dia

  1. Hipotenusa = escada = 10 m. Um cateto = distância até a parede = 6 m. Procura-se o outro cateto (a altura).

  2. height² + 6² = 10²

    height² = 100 − 36 = 64

  3. height = √64 = 8 m

O triângulo é retângulo? A recíproca

O teorema também funciona ao contrário: se você conhece os três lados, pode verificar se o triângulo tem um ângulo reto.

Recíproca do teorema de Pitágoras: Se a² + b² = c², então o triângulo é retângulo. Se a igualdade não vale, ele não é.

  1. 6² + 8² = 36 + 64 = 100

    10² = 100

  2. 100 = 100 ✓ — Sim, é um triângulo retângulo.
  • A hipotenusa fica sempre oposta ao ângulo reto — é o lado mais longo.
  • Para achar c: use a² + b² = c² e extraia a raiz quadrada.
  • Para achar um cateto: reorganize para a² = c² − b² e extraia a raiz quadrada.
  • Confira sempre: a hipotenusa precisa ser maior que cada cateto.
  • Ternos pitagóricos (3-4-5, 5-12-13, 8-15-17) aparecem em muitas questões de prova — aprenda a reconhecê-los.

  1. Encontre a hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos 6 e 8.

    Dica: 6² + 8² = c²

  2. Um triângulo retângulo tem hipotenusa 17 e um cateto 15. Encontre o outro cateto.

    Dica: a² = 17² − 15²

  3. Um triângulo de lados 7, 24 e 25 é retângulo?

    Dica: verifique se 7² + 24² = 25².

  4. Uma cerca atravessa na diagonal um jardim retangular de 9 m por 12 m. Qual é o comprimento da cerca?

    Dica: a diagonal é a hipotenusa.

  5. Encontre o comprimento exato da diagonal de um quadrado de lado 5 cm.

    Dica: os dois catetos valem 5.

O próximo passo em geometria

O teorema de Pitágoras leva direto à fórmula da distância, à trigonometria (seno, cosseno, tangente) e à geometria do círculo. Se você está estudando geometria no 9.º ano ou no 1.º ano do ensino médio, veja os preços e comece e vamos mapear exatamente o que vem depois.