يتعلّم معظم الطلاب a² + b² = c² ثم يبدأون فورًا بتعويض الأرقام — دون أن يفهموا يومًا لماذا هي صحيحة. البرهان بالرسم يستغرق دقيقتين ويجعل المبرهنة لا تُنسى. أما التطبيقات فتأتي بعد ذلك من تلقاء نفسها.
في أي مثلث قائم الزاوية ضلعاه القائمانaوbووترهc:a² + b² = c²
الوتر هو دائمًا الضلع المقابل للزاوية القائمة — وهو دائمًا أطول الأضلاع.
أتحتاج مساعدة في تطبيق المبرهنة على المسائل الكلامية؟
تكشف جلسة استشارية واحدة بالضبط أين ينقطع التفكير — بلا إلحاح وبلا أي التزام.
لماذا هي صحيحة؟ البرهان بالمساحات
ارسم مربعًا على كل ضلع من أضلاع المثلث القائم الزاوية. مساحة المربع المرسوم على الوتر c تساوي تمامًا مجموع مساحتي المربعين المرسومين على الضلعين القائمين a وb.
هذه ليست مصادفة — فهي تصحّ على كل مثلث قائم الزاوية، أيًّا كانت أطوال أضلاعه. والعلاقة بين هذه المساحات الثلاث هي ما يجعل المثلثات القائمة الزاوية مميّزة.
إيجاد الوتر (أطول ضلع)
إذا كان الضلعان القائمان معلومين والمطلوب هو الوتر، فطبّق القانون مباشرة.
a² + b² = c²
3² + 4² = c²
9 + 16 = c²
25 = c²
c = √25 = 5
المثلث 3-4-5 هو أشهر ثلاثية فيثاغورس — مجموعة من الأعداد الصحيحة تحقّق المبرهنة. ومنها أيضًا 5-12-13 و8-15-17.
5² + 8² = c²
25 + 64 = c²
89 = c²
c = √89 ≈ 9.43
إيجاد ضلع مجهول
إذا كان الوتر وأحد الضلعين القائمين معلومين، فأعِد ترتيب القانون ليبقى الضلع المجهول وحده.
a² + b² = c²
a² = c² − b²
a² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144
a = √144 = 12
مسألة من الواقع
- الوتر = السُّلّم = 10 أمتار. أحد الضلعين القائمين = المسافة عن الحائط = 6 أمتار. والمطلوب الضلع الآخر (الارتفاع).
height² + 6² = 10²
height² = 100 − 36 = 64
height = √64 = 8 m
هل المثلث قائم الزاوية؟ المبرهنة العكسية
تعمل المبرهنة في الاتجاه المعاكس أيضًا: إذا عرفت أطوال الأضلاع الثلاثة، أمكنك التحقّق مما إذا كان في المثلث زاوية قائمة.
عكس مبرهنة فيثاغورس: إذا كان a² + b² = c²، فالمثلث قائم الزاوية. وإذا لم تتحقّق المعادلة، فهو ليس كذلك.6² + 8² = 36 + 64 = 100
10² = 100
- 100 = 100 ✓ — نعم، هذا مثلث قائم الزاوية.
- الوتر دائمًا مقابل الزاوية القائمة — وهو أطول ضلع.
- لإيجاد c: استخدم a² + b² = c² ثم خُذ الجذر التربيعي.
- لإيجاد ضلع قائم: أعِد الترتيب إلى a² = c² − b² ثم خُذ الجذر التربيعي.
- تحقّق دائمًا: يجب أن يكون الوتر أطول من كل ضلع من الضلعين القائمين.
- ثلاثيات فيثاغورس (3-4-5 و5-12-13 و8-15-17) تتكرّر في كثير من أسئلة الامتحانات — تعرّف عليها.
أوجد وتر مثلث قائم الزاوية ضلعاه القائمان 6 و8.
تلميح: 6² + 8² = c²
مثلث قائم الزاوية وتره 17 وأحد ضلعيه القائمين 15. أوجد الضلع الآخر.
تلميح: a² = 17² − 15²
هل المثلث الذي أطوال أضلاعه 7 و24 و25 قائم الزاوية؟
تلميح: تحقّق مما إذا كان 7² + 24² = 25².
سياج يقطع حديقة مستطيلة أبعادها 9 أمتار في 12 مترًا قطريًّا. ما طول السياج؟
تلميح: القطر هو الوتر.
أوجد الطول الدقيق لقطر مربع طول ضلعه 5 سنتيمترات.
تلميح: الضلعان القائمان كلاهما 5.
الخطوة التالية في الهندسة
ترتبط مبرهنة فيثاغورس مباشرةً بقانون المسافة، وبحساب المثلثات (الجيب وجيب التمام والظل)، وبهندسة الدائرة. وإذا كنت تدرس الهندسة في الصف التاسع أو العاشر، فاطّلع على الأسعار وابدأ وسنرسم بالضبط ما يأتي بعد ذلك.