جمع 1/2 + 1/3 ليس بسهولة جمع الأعلى مع الأعلى والأسفل مع الأسفل — ولو كان كذلك لكان الجواب 2/5، وهو في الحقيقة أصغر من نقطة البداية. والقاعدة الحقيقية تصبح معقولة بمجرد أن تتصوّر ما يعنيه الكسر. وهذه طريقة جمع أي كسرين وطرحهما، خطوة بخطوة.
هل ما زالت الكسور مُحيِّرة مهما حاولت؟
تكشف جلسة استشارية واحدة بالضبط أين ينقطع التفكير — بلا إلحاح وبلا أي التزام.
ما يعنيه الكسر فعلًا
الكسر يُظهر جزءًا من كلّ. والمقام (العدد الأسفل) يخبرك إلى كم جزء متساوٍ قُسِّم الكلّ. والبسط (العدد الأعلى) يخبرك كم جزءًا من تلك الأجزاء تملك.
لا يمكنك جمع أو طرح إلا أجزاءً متساوية الحجم. ثلاثة أرباع زائد ربعين سهل — فكلاهما «أرباع»، فتَعُدّها فقط: خمسة أرباع. وكل الحيلة في جمع الكسور هي أن تجعل الأجزاء متساوية الحجم أولًا.
الحالة 1: المقام نفسه (الحالة السهلة)
عندما يتساوى المقامان أصلًا، تكون الأجزاء متساوية الحجم. فاجمع (أو اطرح) البسطين فقط وأبقِ المقام كما هو.
a/c + b/c = (a + b)/c
- كلاهما
8— فالأجزاء متساوية الحجم، ويمكننا الجمع مباشرة. 3 + 2 = 5. وأبقِ المقام: 5/8.5و8ليس بينهما عامل مشترك، إذن 5/8 هو الجواب النهائي.
لا تجمع المقامين أبدًا.3/8 + 2/8يساوي5/8، لا5/16. فالمقام يُسمّي حجم الجزء — ولا يتغيّر لمجرّد أن عدد الأجزاء صار أكبر.
الحالة 2: مقامان مختلفان (أوجد مقامًا مشتركًا)
عندما يختلف المقامان، تختلف أحجام الأجزاء — فلا يمكنك جمعها بعد. أعِد أولًا كتابة الكسرين ليكون لهما مقام مشترك. وأسهل مقام مشترك هو المضاعف المشترك الأصغر للعددين الأسفلين — راجع دليل المضاعف المشترك الأصغر والعامل المشترك الأكبر إن كان المصطلح جديدًا (والعامل المشترك الأكبر هو أكبر عامل مشترك بينهما).
- 1. أوجد مقامًا مشتركًا (المضاعف المشترك الأصغر للمقامين).
- 2. أعِد كتابة كل كسر بهذا المقام (اضرب الأعلى والأسفل في العدد نفسه).
- 3. اجمع البسطين أو اطرحهما، ثم بسّط.
- مضاعفات العدد 2: 2، 4، 6… ومضاعفات العدد 3: 3، 6… فالمضاعف المشترك الأصغر هو
6. - اضرب الأعلى والأسفل في 3:
1/2 = 3/6. - اضرب الأعلى والأسفل في 2:
1/3 = 2/6. 3/6 + 2/6 = 5/6. ولا يمكن تبسيطه، إذن الجواب 5/6.
- مضاعفات العدد 6: 6، 12… ومضاعفات العدد 4: 4، 8، 12… فالمضاعف المشترك الأصغر هو
12. 5/6 = 10/12(×2) و1/4 = 3/12(×3).10/12 − 3/12 = 7/12.7و12ليس بينهما عامل مشترك، إذن 7/12 هو الجواب.
تعثّرت في إيجاد المضاعف المشترك الأصغر؟ يمكنك دائمًا ضرب المقامين أحدهما في الآخر واستخدام الناتج مقامًا مشتركًا. ففي1/2 + 1/3يعطي ذلك6على أي حال؛ أما في الأزواج الأصعب فقد يعطي عددًا أكبر تبسّطه في النهاية. وهو ينجح دائمًا — لكنه ليس دائمًا الأصغر. ودليل المضاعف المشترك الأصغر والعامل المشترك الأكبر عندنا يشرح طرقًا أسرع.
الأعداد الكسرية (عدد صحيح زائد كسر)
العدد الكسري مثل 2 1/3 يعني «2 كلّ وثلث». وأأمن طريقة لجمعها أو طرحها هي تحويل كل واحد أولًا إلى كسر غير حقيقي، ثم اتّباع القواعد نفسها.
2 1/3 = 7/3(2 × 3 + 1 = 7) و1 1/2 = 3/2(1 × 2 + 1 = 3).- المضاعف المشترك الأصغر للعددين 3 و2 هو
6:7/3 = 14/6و3/2 = 9/6. 14/6 + 9/6 = 23/6.23 ÷ 6 = 3 remainder 5، إذن الجواب 3 5/6.
مرجع سريع
| إذا كان المقامان… | فافعل هذا |
|---|---|
| متساويين | اجمع/اطرح البسطين وأبقِ المقام |
| مختلفين | أوجد المضاعف المشترك الأصغر، وأعِد كتابة الكسرين، ثم اجمع/اطرح البسطين |
| عددين كسريين | حوّلهما أولًا إلى كسور غير حقيقية، ثم تابع |
- الكسر أجزاء من كلّ: بسط فوق مقام.
- لا يمكنك جمع أو طرح إلا كسورًا لها المقام نفسه.
- المقام نفسه: اجمع/اطرح الأعلى وأبقِ الأسفل.
- مقامان مختلفان: أوجد المضاعف المشترك الأصغر وأعِد كتابة الكسرين.
- لا تجمع المقامين معًا أبدًا.
- حوّل الأعداد الكسرية إلى كسور غير حقيقية قبل الحساب.
- بسّط الجواب النهائي دائمًا.
احسب 2/7 + 3/7.
تلميح: المقام نفسه — اجمع البسطين فقط.
احسب 3/4 + 1/6.
تلميح: المضاعف المشترك الأصغر للعددين 4 و6 هو 12. أعِد كتابة الكسرين بالمقام 12.
احسب 7/10 − 2/5.
تلميح: أعِد كتابة 2/5 بالمقام 10.
احسب 5/8 − 1/3.
تلميح: المضاعف المشترك الأصغر للعددين 8 و3 هو 24.
احسب 1 3/4 + 2 1/2.
تلميح: حوّل الكسرين أولًا إلى كسور غير حقيقية.
التالي: ضرب الكسور وقسمتها
متى صار الجمع والطرح طبيعيين، كان الضرب أسهل فعلًا — تضرب في خطّ مستقيم، بلا حاجة إلى مقام مشترك. وللقسمة حيلة أنيقة: «اقلب واضرب». وإن ظلّت الكسور تُعثِرك، فابدأ بـدليل العوامل والمضاعفات أو دليل المضاعف المشترك الأصغر والعامل المشترك الأكبر، ثم احجز استشارة وسنعمل عليها معًا حتى تستقرّ.