المعادلة التربيعية هي أي معادلة تكون فيها أعلى قوة لـ x هي 2 — مثل x² − 5x + 6 = 0. وهناك ثلاث طرق موثوقة بالضبط لحلّها. ومن يعرف الثلاث جميعًا — ويعرف متى يستخدم كل واحدة — لا يتوقّف أبدًا.
كل معادلة تربيعية يمكن كتابتها على الصورة ax² + bx + c = 0، حيثa ≠ 0. والأعداد الثلاثةa، وb، وcتُسمّى المعاملات.
عندما تحلّ معادلة تربيعية فأنت تجد جذورها — أي قيم x التي يقطع عندها القطع المكافئ محور x. وقد يكون للمعادلة التربيعية جذران، أو جذر واحد (جذر مكرّر)، أو لا جذور حقيقية على الإطلاق.
لست متأكدًا أي طريقة تجرّب أولًا؟
تكشف جلسة استشارية واحدة بالضبط أين ينقطع التفكير — بلا إلحاح وبلا أي التزام.
الطريقة 1 — التحليل إلى عوامل
التحليل إلى عوامل أنسب ما يكون عندما تكون جذور المعادلة أعدادًا صحيحة مريحة. تعيد كتابةax² + bx + c على صورة حاصل ضرب مقدارين بين قوسين، ثم تستخدم خاصية حاصل الضرب الصفري. وإذا كان إيجاد عددين يتناسب ضربهما وجمعهما قد صدئ عندك، فراجع أولًا العوامل والمضاعفات والتحليل إلى عوامل أوّلية — فالتحليل في جوهره لعبة عوامل متنكّرة.
خاصية حاصل الضرب الصفري: إذا كانA × B = 0، فإمّاA = 0أوB = 0(أو كلاهما). هذا هو المفتاح الذي يفتح التحليل.
- نحتاج إلى عاملين للعدد 6 مجموعهما −5:
? × ? = 6و? + ? = −5.
الجواب:−2و−3(لأن −2 × −3 = 6 و−2 + −3 = −5). (x − 2)(x − 3) = 0
- إمّا
x − 2 = 0أوx − 3 = 0x = 2 or x = 3
x = 2:4 − 10 + 6 = 0✓x = 3:9 − 15 + 6 = 0✓
1و6: حاصل الضرب 6، والمجموع 7 ✓2x² + x + 6x + 3 = 0
x(2x + 1) + 3(2x + 1) = 0
(2x + 1)(x + 3) = 0
2x + 1 = 0 → x = −½x + 3 = 0 → x = −3
الطريقة 2 — القانون العام
عندما يكون التحليل صعبًا أو مستحيلًا، فالقانون العام ينجح دائمًا. احفظ هذا القانون — فهو يحلّ أي معادلة تربيعية.
القانون العام
x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a
حيث ax² + bx + c = 0
a = 2،b = −4،c = −6b² − 4ac = (−4)² − 4(2)(−6) = 16 + 48 = 64
x = (4 ± √64) / 4 = (4 ± 8) / 4
x = (4 + 8)/4 = 12/4 = 3x = (4 − 8)/4 = −4/4 = −1
القيمة تحت الجذر تُخبرك بعدد الحلول الحقيقية:
- • b² − 4ac > 0 → جذران حقيقيان مختلفان
- • b² − 4ac = 0 → جذر حقيقي واحد بالضبط (مكرّر)
- • b² − 4ac < 0 → لا جذور حقيقية
الطريقة 3 — إكمال المربع
إكمال المربع خطواته أكثر، لكنه يعطيك صورة الرأس للقطع المكافئ، وهي مفيدة في الأعمال الأكثر تقدّمًا. وبهذه الطريقة أيضًا استُنبط القانون العام.
x² + 6x = 7
- نصف 6 هو 3. وثلاثة تربيعًا تساوي 9.
x² + 6x + 9 = 7 + 9
x² + 6x + 9 = 16
(x + 3)² = 16
x + 3 = ±4
x = −3 + 4 = 1 or x = −3 − 4 = −7
أي طريقة تستخدم؟
| الحالة | أفضل طريقة |
|---|---|
| يبدو أنها ستُحلّل بسهولة | التحليل إلى عوامل (الأسرع) |
| معاملات مزعجة أو كسور | القانون العام (ينجح دائمًا) |
| تحتاج صورة الرأس للرسم | إكمال المربع |
| غير متأكد | القانون العام (الخيار الأكثر أمانًا) |
خطأ شائع: نسيان إشارة±عند أخذ الجذر التربيعي. فكلٌّ من+√و−√جذر صحيح — اكتب الحلّين دائمًا.
حُلّ بالتحليل: x² − 7x + 12 = 0
تلميح: أوجد عددين حاصل ضربهما 12 ومجموعهما −7.
حُلّ بالقانون العام: 3x² − 5x − 2 = 0
تلميح: a = 3، b = −5، c = −2.
حُلّ بإكمال المربع: x² + 4x − 5 = 0
تلميح: أضف (4/2)² = 4 إلى الطرفين.
أوجد المميّز وبيّن عدد الجذور: 2x² − 3x + 5 = 0
تلميح: b² − 4ac = 9 − 40 = ?
حُلّ: x² − 9 = 0
تلميح: هذا فرق بين مربعين — حلّله إلى (x+3)(x−3) = 0.
أتريد التدرّب مع ملاحظات؟
المعادلات التربيعية من الموضوعات التي تتراكم فيها الأخطاء الصغيرة لتصبح أكبر — خصوصًا تحت ضغط الامتحان. ونقاش مع مرشد يتيح لنا أن نجد بالضبط الخطوة التي تُعثِرك ونصلحها قبل أن تتحوّل إلى عادة.