Una ecuación cuadrática es cualquier ecuación en la que la mayor potencia de x es 2, como x² − 5x + 6 = 0. Hay exactamente tres métodos confiables para resolverlas. Conocer los tres —y cuándo usar cada uno— significa que nunca te vas a quedar atascado.
Toda cuadrática puede escribirse como ax² + bx + c = 0, dondea ≠ 0. Los tres númerosa,bycse llaman coeficientes.
Cuando resuelves una cuadrática, estás hallando sus raíces: los valores de x donde la parábola corta al eje x. Una cuadrática puede tener dos raíces, una sola (raíz doble) o ninguna raíz real.
¿No sabes qué método probar primero?
En una consulta localizamos exactamente dónde se rompe el razonamiento, sin presión y sin compromiso.
Método 1: factorización
La factorización funciona mejor cuando la ecuación tiene raíces enteras sencillas. Reescribesax² + bx + c como un producto de dos expresiones entre paréntesis y después aplicas la propiedad del producto cero. Si buscar dos números cuyo producto y suma encajen se te olvidó, repasa primero divisores y múltiplos y la factorización en primos: factorizar es, en el fondo, un juego de divisores.
Propiedad del producto cero: siA × B = 0, entoncesA = 0oB = 0(o ambos). Esta es la clave de la factorización.
- Necesitamos dos divisores de 6 que sumen −5:
? × ? = 6y? + ? = −5.
Respuesta:−2y−3(porque −2 × −3 = 6 y −2 + −3 = −5). (x − 2)(x − 3) = 0
- O
x − 2 = 0ox − 3 = 0x = 2 or x = 3
x = 2:4 − 10 + 6 = 0✓x = 3:9 − 15 + 6 = 0✓
1y6: multiplicados 6, sumados 7 ✓2x² + x + 6x + 3 = 0
x(2x + 1) + 3(2x + 1) = 0
(2x + 1)(x + 3) = 0
2x + 1 = 0 → x = −½x + 3 = 0 → x = −3
Método 2: la fórmula cuadrática
Cuando factorizar es difícil o imposible, la fórmula cuadrática siempre funciona. Memorízala: resuelve cualquier cuadrática.
La fórmula cuadrática
x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a
donde ax² + bx + c = 0
a = 2,b = −4,c = −6b² − 4ac = (−4)² − 4(2)(−6) = 16 + 48 = 64
x = (4 ± √64) / 4 = (4 ± 8) / 4
x = (4 + 8)/4 = 12/4 = 3x = (4 − 8)/4 = −4/4 = −1
El valor bajo la raíz cuadrada te dice cuántas soluciones reales hay:
- • b² − 4ac > 0 → dos raíces reales distintas
- • b² − 4ac = 0 → exactamente una raíz real (doble)
- • b² − 4ac < 0 → ninguna raíz real
Método 3: completar el cuadrado
Completar el cuadrado lleva más pasos, pero da la forma canónica de la parábola, útil en trabajos más avanzados. Además, así se dedujo la fórmula cuadrática.
x² + 6x = 7
- La mitad de 6 es 3. Tres al cuadrado es 9.
x² + 6x + 9 = 7 + 9
x² + 6x + 9 = 16
(x + 3)² = 16
x + 3 = ±4
x = −3 + 4 = 1 or x = −3 − 4 = −7
¿Qué método deberías usar?
| Situación | Mejor método |
|---|---|
| Parece que factoriza de forma limpia | Factorización (la más rápida) |
| Coeficientes incómodos o fracciones | Fórmula cuadrática (siempre funciona) |
| Se necesita la forma canónica para representar | Completar el cuadrado |
| No sabes cuál | Fórmula cuadrática (la opción más segura) |
Error habitual: olvidar el signo±al sacar una raíz cuadrada. Tanto+√como−√son raíces válidas: escribe siempre las dos soluciones.
Resuelve factorizando: x² − 7x + 12 = 0
Pista: halla dos números que multiplicados den 12 y sumados −7.
Resuelve con la fórmula cuadrática: 3x² − 5x − 2 = 0
Pista: a = 3, b = −5, c = −2.
Resuelve completando el cuadrado: x² + 4x − 5 = 0
Pista: suma (4/2)² = 4 a los dos lados.
Halla el discriminante y di cuántas raíces hay: 2x² − 3x + 5 = 0
Pista: b² − 4ac = 9 − 40 = ?
Resuelve: x² − 9 = 0
Pista: es una diferencia de cuadrados; factorízala como (x+3)(x−3) = 0.
¿Quieres practicar con comentarios?
Las cuadráticas son uno de esos temas en los que los errores pequeños se acumulan en otros mayores, sobre todo con la presión del examen. Una conversación con un mentor nos permite encontrar exactamente qué paso te hace tropezar y corregirlo antes de que se convierta en costumbre.